高等数学方明亮74多元复合函数的求导法则

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1、第四节多元复合函数的求导法则第七章(DerivationRuleofMultivariateCompositeFunctions)一、多元复合函数的求导法则二、全微分的形式不变性三、小结与思考练习7/17/20211复习引入一元复合函数求导法则微分法则多元复合函数的求导法则和微分法则推广7/17/20212一、多元复合函数的求导法则定理若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t取增量△t,则相应中间变量且有链式法则有增量△u,△v,7/17/20213(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)7

2、/17/20214若定理中例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.说明:7/17/202151)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,推广:7/17/20216当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,又如,7/17/20217解:例1设（课本例2）7/17/20218解:例2（课本例3）7/17/20219求全导数解:注意：多元抽象复合

3、函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例3设（补充题）7/17/202110解:7/17/202111为简便起见,引入记号f具有二阶连续偏导数,求解:令则例5设（自学课本例5）7/17/202112二、全微分的形式不变性设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.7/17/202113利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全微分的四则运算公式：例如，以上其

4、余两个公式的证明类似.利用全微分的形式不变性及全微分的四则运算，可使全微分的运算更简便.7/17/202114解：＝根据全微分的计算公式，求出du时也就得到了u的3个偏导数，即7/17/202115解：我们先求函数的全微分.由全微分形式不变性，得故7/17/202116内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,课后练习习题7－41～8、9（奇数题）10、12、147/17/202117思考与练习1、习题7－47……7

5、/17/2021182、习题7－48(2)7/17/2021193.已知求解:由两边对x求导,得7/17/202120求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)4.7/17/202121