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《高等数学D第6章定积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想—主要组成部分.思想方法.1第六章定积分6.1定积分的概念与性质6.2定积分的几何意义6.3定积分的性质6.4微积分基本公式6.5定积分的换元积分法概与分部积分法6.6无穷限广义积分6.7定积分的应用26.1定积分的概念两个典型的例子定积分的定义31.曲边梯形的面积求由连续曲线一、两个典型的例子4用小矩形面积的和梯形面积．（五个小矩形）（十个小矩形）基本思想显然,小矩形越多,矩形总面积越接
2、近曲边近似取代曲边梯形面积5采取下列四个步骤来求面积A.(1)分割(2)取近似长度为为高的小矩形面积近似代替,iADnixfAiiiL,2,1,)(=D»Dx有6(3)求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值.(4)求极限为了得到A的精确值,取极限,形的面积:分割无限加细,极限值就是曲边梯面积A就是一个和式的极限！72.求变速直线运动的路程思路把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值，设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔的一个连续函数,求物体在这段时间
3、内所经过的路程.进一步如上例求极限.8(1)分割(3)求和(4)取极限路程的精确值(2)取近似表示在时间区间内走过的路程.某时刻的速度路程s同样是一个和式的极限！在任取一点9路程问题：面积问题：上两例共同点:1)所求量均由一个函数和所在区间所决定；以速度做直线运动的物体在的路程2)方法一样(分割—取近似—求和—取极限)；3)结果形式一样(和式的极限).10在各小区间上任取在[a,b]中任意插入二、定积分的定义设函数f(x)在[a,b]上有界,1.定义若干个分点把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间长度依次为一点
4、作乘积并作和记如果不论对11被积函数被积表达式记为怎样的分法,也不论在小区间上点怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.积分下限积分上限积分变量[a,b]积分区间12和上、下限,(1)定积分是一个数值,定积分数值只依赖于被积函数注而与积分变量的记号无关.(2)对定积分的补充规定:13结论1结论22.可积函数类可积.且只有有限个间可积.当函数的定积分存在时,可积.断点,哪些函数是可积的呢？14解例用定义计算小区间的长度取nin115166.2定积分的几何意义在
5、问题1中，曲边梯形的面积为（1）如果函数在[]上连续，且≥0，在几何上就表示由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积.那么17在[（2）如果]上连续且，则由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积为：这就是说，当时，等于曲边梯形的面积的相反数.xyy=f(x)o定积分18在[]上连续，且有时取正值，则有（3）如果有时取负值,19例解oxy206.3定积分的性质在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小．性质1性质2(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1和性质2称为线性性质.21性质3定积分的可加性对于
6、任意三个数总有.aocbxy=f(x)A2A1yaobcxy=f(x)A2A1y在左图中：在右图中：所以＝－＝＋22性质4性质5如果在则推论如果在则证于是23解令于是比较积分值和的大小.例24证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6估值不等式分别是函数最大值及最小值.则25解估计积分例26解估计积分例27证由闭区间上连续函数的介值定理:性质7(定积分中值定理）如果函数在闭区间连续,则在积分区间至少存在一点使下式成立:积分中值公式至少存在一点使即28积分中值公式的几何解释至少存在一点在区间使得以区间为底边,以曲
7、线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积.29定理用途注性质7(定积分中值定理）如果函数在闭区间连续,则在积分区间至少存在一点使下式成立:连续函数的平均值公式如何去掉积分号来表示积分值.通常称30比如以速度做直线运动的物体在曲边梯形的平均高度的路程为则在这段时间内的平均速度为可以看作31例平均气温表示某地点一昼夜中任意时刻t的气温，那么平均气温是多少？如果每一小时测量一次气温,所有测得的温度值相加除如果半小时测量一次，以24,可以得到一昼夜每小时的平均气温.气温是连续变化的，气温自动记录仪记录的
8、是一条连续变化的曲线气温曲线（连续曲线）下的面积除以区间长度24，即就是一昼夜的平均气温.如果用这样得到的平均气温代表性更好，32例变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为设某物体作直线运动,已知速度的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔一、问题的提出其中6.4微积分基本公式33启示问题这种方法有没有一般性呢？计算定积分的方法：求v(t)的一个原函
