高等数学第5章 定积分

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1、第五章定积分第一节定积分的概念第二节微积分基本定理习题课一第三节定积分换元积分法与分部积分法第四节反常积分习题课二第一节定积分的概念第一节定积分的概念第五章一两个实例二定积分的定义定积分三定积分的几何意义四定积分的性质吴新民--11-第一节定积分的概念一两个实例实例1曲边梯形的面积曲边梯形由连续曲线yf(x)(f(x))0、x轴与两条直线xa,xb所围成.通过下列演示第五章y25个分割点491374个分割点个分割点yfx()定积分Oabx曲边梯形面积可用许多矩形面积的和近似取代吴新民--22-第一节定积分的概念思路:大化小,常代变,近似和,求极限.大化小:在区间[,]ab任意插

2、入若干个分点axxxxxb,012nn1y将区间[,]ab分成了n个小区间第五章[,]xx,相应将曲边梯形分成ii1n个小曲边梯形.定积分常代变:在每个[,]xii1x上任取一点i,相应的小曲边oaxi1xibx梯形就可以近似地看成以xii()xx为底长,f()为高的矩形.其面积为ii1iAf()xiii吴新民--33-第一节定积分的概念近似和：曲边梯形面积的近似值为nAf()xiii1求极限:记max{xi},当0时,曲边梯形面第五章1in积为n定积分Alimf(i)xi0i1实例2变速直线运动的路程设某

3、物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔[T1,T2]上t的一个连续函数,且v(t),0求物体在这段时间内所经过的路程.吴新民--44-第一节定积分的概念思路：大化小,常代变,近似和,求极限.大化小:在区间[,]TT任意插入若干分点12TtttttT1012n1n2第五章常代变：在区间[,]ttii1任取一点i,siv(i)titititi1定积分部分路程值某时刻的速度n近似和sv()tiii1求极限max{t1,t2,,tn}n路程的精确值slimv()tii0i1吴新民--55-第一节定积分的概念二、定

4、积分的定义定义设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点第五章ax0x1x2xn1xnb,把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次定积分为xxx，(i,2,1)，在各小区间上任取一iii1点i(xi1ixi),作乘积f(i)xi(i,2,1),并作和nInf(i)xii1记max{x1,x2,,xn},如果对区间[a,b]无论吴新民--66-第一节定积分的概念怎样的分法，在小区间[xi1,xi]上的点i无论怎样的取法，只要当0时，和式In有确定的极限I,我们称这个极限I为函

5、数f(x)在区间[a,b]上的定积分,第五章记为积分和积分上限n定积分bf()dxxIlimf(i)xia0i1积分下限被积函数被积表达式积分变量[a,b]积分区间吴新民--77-第一节定积分的概念注意：(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.即bbbafxx()dftt()dfuu()daa第五章(2)定义中区间的分法和的取法是任意的.i(3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时,称定积分f(x)在区间[a,b]上可积.定理1当函数f(x)在区间[a,b]上连续时，则f(x)在区间[a,b]上可积.定理2设函数f(x)在区

6、间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积.吴新民--88-第一节定积分的概念12例1利用定义计算定积分xd.x02解x在[0,1]连续，从而可积.i将]1,0[n等分，分点为x，(i,2,1,n)i第五章n1小区间[x,x]的长度x，(i,2,1,n)x,i1iiiinnn定积分122xdxlimf(i)xilimixi000i1i1nn2n2i112limxixi,limlim3i0ni1nnnni1i11n(n1)(2n)11111lim

7、lim12.3nn6n6nn3吴新民--99-第一节定积分的概念例2设函数f(x)在区间]1,0[上连续，且取正值.112nln()dfxx试证limnfffe0.nnnn第五章利用对数的性质得证明12nlimnfff定积分nnnn12nlnnffflimennn