医用高等数学定积分

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1、一、不定积分的概念二、不定积分的性质基本积分公式三、换元积分法四、分部积分法五、有理函数的积分不定积分一、不定积分的概念定义1若在某区间上,则称　为在该区间上的一个原函数．例如:,,.,,.问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？(3)原函数的全体如何表示?分析：，.（2）若和都是的原函数;则（为任意常数）结论：（1）不唯一;（3）为原函数的全体;.定义若是函数的一个原函数,则的原函数的全体　　　　称为　　的不定积分.记为.任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量由此可知,求不定积分只需求出一个原函数,再加上任

2、意常数.例1求.解.例2求.解.不定积分的几何意义:它们在点处有相同的斜率，即这些切线互相平行．故为在点x处切线斜率为f(x)的一族曲线。是积分曲线　　上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线族．二、不定积分的性质和基本积分公式性质1.性质2.基本积分公式；；(4)；(3)；；；；；.例3求解.例4求解.例5求解.例6求解.例7求解.三、换元积分法第一换元积分法(凑微分法)定理则有换元公式例8求.解..解.解.例9求.例10求.对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量.例11求.解Cax++=23)(32.例12求.解.例13求.

3、解Cxxxd+==ò2)(ln21lnln.例14求解.例15求解.另一方法:解.例16求解另一方法:解.例17求.例18求.解.2.第二换元积分法定理解令则从而例19求（根式代换）例20求（根式代换）解令则从而若被积函数中含有时,可采用三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角代换.三角代换常有下列规律：可令可令可令例21求解设..例22求解令解令例23求.于是,综上所述得：四、分部积分法证明由导数公式得对上两边求不定积分得定理分部积分公式所以解另一思路：例25求更复杂了!解例26求例27求解解例28求例30求解解例29求例31求解

4、例32求解例33求解解例3-34求解例35求解例36求故例37求解设,则五、有理函数的积分其中、都是非负整数；及都是实数,并且，.有理函数指两个多项式的商所表示的函数:假定分子与分母之间没有公因式，则称有理函数为真分式；称有理函数为假分式.注意：例：(1)利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.(2)在实数范围内真分式总可以为化为几个最简分式之和.最简分式是下面两种形式的分式：其中都是待定的常数，k为正整数且满足条件若有理函数的分母中有因式，则分解式含有下列最简分式其中为待定常数。若有理函数的分母中有因式，则分解式

5、含有下列最简分式：(3)有理函数化为最简分式之和的一般规律：其中为待定常数.为便于求积分必须把真分式化为最简分式之和,同时，要把待定的常数确定,这种方法叫待定系数法。例38求解设下面确定系数A和Ｂ。方法一：去分母,两端同乘，得比较两端同次幂的系数,得解方程组得:方法二：在恒等式中，令得;令得.于是故例39求解设两边同乘得解设例40求故两边同乘得故解例41求分析:被积函数的分母在实数范围内不能因式分解,可用凑微分法求解.练习：1．原函数的概念　不定积分的概念　不定积分的性质　基本积分公式主要内容2．两类换元法3．分部积分法（1）若被积

6、函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积,设幂函数为.(2)若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角函数为.(3)若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可作为,但作为的函数的类型不变.