4、分值与区间11,4］的分割及点金的取法无关.为了便于计算，把区间［1，4］分成n等份，每个小区间的长度都等于丄，分点仍记为n1=兀V舛<^2<<^-1V£=4并取纟=片(,=1,2,,n),得积分和=工($2+l)Ax；=y^(x.2+1)Aa;=工((—+1)2+1)3；=lc=ii=l/=!nfl27十々18亡.,=^SZ+尹工‘+&fl/=lnr=l19z皿181z『=—r—n(n+l)(2n+1)+——n(n+1)+6n2rr29111=_(l+_)(2+_)+9(l+_)+62nnn令77TOO(此吋各小区间的长度都趋于零，故/IT0
5、),对上式取极限，由定积分的定义,得f4(x2+l)dx=limy(^+l)Ax.=lim[-(1+-)(2+-)+9(1+丄)+6]=24Jiio台宀皿2nnn3.判断下列式子是否一定正确(1)f'/Wdx^O(其中/(x)^0)；Ja3.解：(1)不一定正确，这是因为题中未指明Q与方的大小关系.当dWb吋，WjV(x)dA-^O;当吋，有J：.f(x)dx<0.(2)一定正确.由定积分的性质，已知GV”，
6、/(x)
7、>/(x),则
8、/(x)
9、d¥
10、/(x)dv.4.试比较下列各组积分值的大小，并说明理由xcLvt[x2dx,J0[x3dx；
11、J0lnxdv,J(Inx)2dv,f41drJ3lnxx(lx,['ln(l+J0「e'dx.J0(1)1(2)0(3)102.解：(1)当兀丘[0,1]时，有x>x2>x3t因此
12、^xdv>j^x2dx>
13、3d.v.(2)当xe[3,4]时，有Inx>1,(lnx)2>lnx>——,x因此J3(Inx)2dx>jInxdx>J§-^—dx5.计算：(1-cos3t)(ltx-sinx(I)limA->0(2)limx->0()(1-cos3r)drtanx-x解：(1)根据洛必达法则和积分上限函数导数的性质(l-cos3r)drlim
14、^gox-sinx「1-cos‘x=lim1-cosx=lim(1+cosx+cos2x)=3(2)同理「(1-cos3t)dtlimJo•ytO0tanx-x.・l-cos3x=lim——z心()secx-“3cos2xsinx“3cos4xsinx3=lim=lim=—z2secxtanxsecx2tanx26.求y=J!Acost2dt(x>0)的导函数yr(x).X解：V(x)=[JJcos/2d/+jX-一cos2—•(一-)+cos(>/x)2•无f2Jx&1賣()'cosZ2d/]/=[-£acosrdr+j^cosz2d/]r
15、-1」1〒=—cos^—+—cosx2yJX对X2y/x7.计算下列定积分(2)9=45-46[?>/x(l+>/x)(i¥=「(五+x)dv=(—x2+丄+)J4J432令丁2+4兀=人无=——,dx=—dt42[•4X(1X丄(2+4x一8mt（亠2）吩松5X-lclxx令Jx-=t,x=t2+,dx=2tdt[dx=2J()——pir=2[t-arctant](4)(5)Jjxx
16、dr=-j^2<1¥+j^x2d.¥=O(6)*—户0ej
17、sinx
18、dr=_Lsinxdx+[J~2"2(7)；=2j>士严“_2arctan2Jt2s
19、inxdx=2oji
20、lnx
21、cLr=-jJnxck+J'Inxdx=-[xx_dx-2-—e(8)j；^cosx-cos3xdx=J；Jcosx
22、sinx
23、ck=2匸Jcosx
24、sinx
25、dr2・=-2(9)In2Je”(l+eVck=joln2(ex+2e2v+e3v)dx=©+&+*〃)(10)J^x2-x4dx=j'jxl-x2dx=j]-xl-x2dx+£x/-x2dx=-f°Vl-x2d(l-x2)--[]Vl-x2d(l-x2)2J-i2Jo冷（1一屛此一如"）訂=
26、2+lnxdlnx=21nr+丄ln'x2(1
27、2)广令Jw'_]=f，兀=ln(/2+l),dx=*‘d/广+1
28、r°r+171dr=2(/-arctant)=2—(13)fr2Jo令x=asi
