高等数学定积分.doc

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1、定积分面积、路程的计算例1、计算，轴和直线围成的图形的面积.处理方法首先把轴的闭区间分成等分，其中第个等分是相应地把上述曲线图形分成个等宽的条形每一个条形的面积介于二个矩形条的面积之间因此整个曲线图形的面积应该介于以下的两个和数之间我们可以把矩形条面积之和和当做曲线图形面积的近似值，所分的矩形条越细，这样的近似值的精确度就越高，事实上我们有当无限增大的时候，上面的两个和数的极限相等皆为，这个共同的极限应该看作所求的面积，这样我们求得一般的情形，设函数在闭区间上有定义，且非负.曲线与围成一个图形，我们求图形的面积I、首

2、先用一串分点把闭区间分成了段（注意，此处并不是等分），相应的将曲线图形分成个条形，其中第个条形为，II、在闭区间上任取一点，我们把高为，低长为的矩形条的面积，当做曲线图形的第个条形的面积的近似值.这样得到曲线图形面积的近似值例2、物理学的例子设物体做变速直线运动，其速度是时间的函数我们来计算时刻到时刻经过的路程.为此，我们用一串分点将时间分成个小段，在第段时间中物体通过的路程可以认为近似等于这里是中的一个时刻，，于是从时刻到时刻物体通过的路程近似等于当分割的时间的间隔越来越短的时候，上述合式的极限值就是物体从时刻到时

3、刻的路程.一、定积分的定义与基本性质积分1、闭区间的一个分割，在，之间插入有限个分点，我们用来表示这些分点将分成个闭区间，分别是第个闭子区间的长度为2、分割的模3、分割的一组标志点：用一个字母表示一组点其中4、函数的积分和：如果在闭区间上有定义，对于的任意一个分割和相应于这个分割的任意一组标志点，可以作和数称为函数在闭区间上的积分和.5、无穷细分割序列：如果闭区间的分割序列满足条件则称是一个无穷细分割序列.定义1：设函数在闭区间上有定义.如果存在实数使得对于任意的无穷细分割序列，不论相应的每个分割的标志点组怎么选择，

4、都有那么我们就说函数在闭区间上可积，并的把称为函数在上定积分，记为积分号；被积表达式；积分上限，积分下限.极限形式的定义：设函数在闭区间上有定义，.如果对于任意，存在，使得只要，不论相应的标志点组怎么选择，总有那么我们说在区间可积，并且把叫做函数在区间上的积分，记为.定积分的几何意义：定积分的几何意义就是-------由连续曲线及直线所围曲边梯形的面积。注：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量所用的符号无关。例1、常值函数在任何区间上可积，并且事实上，对于任意分割，和相应与这个分割的任意的标志点组，因此

5、，.注：因此，我们有性质1、引理设函数在上可积，则在上有界.证明我们利用反证法，首先由于在上可积，那么有则，我们可取，那么存在，使得只要，就有而取为上的一个分割，由于是无界的那么必然有在某一个小区间上无界，我们可以再这个区间内取一点，使得则有矛盾，因此无界的假设是不能成立的.积分可加性定理设，如果函数在和上都可积，那么它在上可积，并且证明略.注1、相对于这个命题，在上可积，那么在上也可积.2、约定积分单调性定理设，函数和在区间上可积并且满足，则有积分中值定理设，函数在上可积，如果那么特别的，如果在上连续，那么存在，使

6、得几何解释由连续曲线与直线所围成的图形的面积，等于以为低，以为高的矩形的面积.二、牛顿-莱布尼兹公式定理设函数在闭区间连续，如果存在函数，它在上连续，在可导，并且满足那么函数在上可积，并且证明考察的任意分割根据中值定理我们得到由于函数在上的一致连续性对于任意的，存在，使得只要就有所以当时，对于相应与这个分割的任意标志点组，都有因此函数在区间上可积，并且我们引入记号公式可以写成例1、例2、例3、例4、求极限例5、求极限例6、求极限公式的最大优点是将定积分的计算问题归结于求原函数—不定积分问题，又可以利用换元法和分部积分

7、法.定义1、如果函数在开区间上的每一点都是可导的，并且导函数在上连续，那么我们就说函数在开区间连续可微，或者说在上是类函数.定义2、如果函数在闭区间上可导（端点单侧可导），并且导函数在闭区间上连续，我们就说函数在闭区间上连续可微，或者说在上是类函数，并约定用这样的记号来表示：定积分的换元法设函数，且，，如果函数在上连续，那么还可写成如果有那么定积分的分部积分公式设函数，则还可写成例7、求解的原函数为例8、解用分部积分法的.三、微元法（略）