高数上册D13函数的极限

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1、高等数学第一章函数与极限§3数列的极限第三节自变量变化过程的六种形式:函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度,要求确定直接观测值精度:定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:极限存在函数局部有界这表明:例1.证明证:故对任意的当时,因此总有例2.证明证:欲使取则当时,必有因此只要例3.证明证:故取当时,必有因此例4.证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有2.保号性定理定理1.若且A>0,证:已知即当时,有

2、当A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:分析:定理2.若在的某去心邻域内,且则证:用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:若定理2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故3.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.例5.设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理3.因为显然所以不存在.二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义2.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线A为函数例6.证明证:取因此注:就有故欲使

3、即直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理