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1、第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限三、函数极限的性质从函数的观点看，数列是下标变量的函数它有极限也可以这样叙述：若在自变量时，相应的函数则称当时，函数有极限。这种定义数列极限的思维方法也适合于一般的函数，由于的自变量x变化方式的不同，的极限定义就有不同的形式，需分类定义。自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义问题:如何用数学语言描述下述过程:在的过程中,函数无限趋近于确定值要点:(1)过程体现与的接近程度.(2)函数与无限接近:有定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,
2、有则称常数A为函数当时的极限,或即当时,有若记作极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:几何解释:一般说来,应从不等式出发,这个正数就是要找的与相对应的这个推导常常是困难的.但是,注意到我们不需要找最大的所以适当放大些,的式子,变成易于解出找到一个需要的找到就证明完毕.可把推导小于怎样的正数,例1.证明证:故对任意的当时,因此总有证这是证明吗？非常非常严格！例2.例3.证明证:欲使取则当时,必有因此只要例4.证明证:故取当时,必有因此例5.证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有2.保号性定理定理1.若且A>0,证:已知即当时,有当A>0时,取正
3、数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)(P37定理3)若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:(P37定理3´)分析:定理2.若在的某去心邻域内,且则证:用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:若定理2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故3.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.(P39题*11)例6.给定函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理3.因为显然所以不存在.验证不存在.证左右极限存在但不相等.不存在.定义2.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解
4、释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线.A为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限例7.证明证:取因此注:就有故欲使只要直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，解显然有可见和虽然都存在,但它们不相等.故不存在.讨论极限是否存在?三、函数极限的性质与收敛数列的性质相比较,可得函数极限的一些相应性质.下面仅以的极限形式为代表给出这些性质,至于其他形式的极限的性质,只需作出些修改即可得到.唯一性若存在,则极限唯一.局部有界性若则存在常数和使得当时,有函数极限与数列极限的关系如果极限存在,为函数的定
5、义域内任一收敛于x0的数列,那么相应的函数值数列且满足:必收敛,且证设则有故对有有即)(lim0xfxx®).(lim)(lim0xfxfxxnn®¥®==¥®)(limnnxfA,)(lim0Axfxx=®内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则例3作业P38*5(1)(4);*6(2);Th1Th3Th2是否一定有？
