SSP第4章能带论2一般属性

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1、4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理本节中不考虑周期性势场V(r)的具体形式，仅从V(r)的周期性出发，一般性地讨论在晶格周期性势场中运动的单电子的波函数和能量所具有的属性。布洛赫1928年首先证明了，在晶体周期性势场中运动的单电子，其定态薛定鄂方程的解(波函数)所具有的形式(波函数一般属性)，是以晶格为周期调幅的平面波。这个论断，被称为布洛赫定理。布洛赫定理是固体能带结构的重要理论。1布洛赫定理表述：在单电子近似下，如果电子的势场V(r)是以晶格为周期的函数，式中，Rn为晶格周期性平移矢量，的本征函数(r)具有调幅平面波的形式：其中是以晶格为周期的函数,即：,k是一

2、个实矢量，称为布洛赫波，称由描述的电子为布洛赫电子。4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理则，薛定鄂方程即：2布洛赫定理证明：4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理即证明周期势场中电子薛定鄂方程(哈密顿算符)本征函数的特征，我们将引入平移算符，证明平移算符-哈密顿算符对易，导出并考察平移算符本征函数的特征。3布洛赫定理证明：4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理4布洛赫定理证明：4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理5布洛赫定理证明：4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理6布洛赫定理证明：上式(3)，即为布洛

3、赫函数定义4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理这是因为由此形式7由布洛赫定理可知：晶格周期场中电子在各原胞对应点上出现的几率相同----即电子状态具有正格子平移周期性。4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理84.2.2波矢k的意义和取值布洛赫函数中的实矢量k是电子波(函数)的波矢.(1)k的取值，可被限制在第一布里渊区第一布里渊区取值k对应了哈密顿量的所有本征值和本征函数。k’kKh4.2周期场中单电子状态的一般属性当k'不在第一布里渊区，总有k在第一布里渊区，根据本征方程9(2)ћk是布洛赫电子的准动量4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.2波矢k

4、的意义和取值10(3)周期性边界条件与k的取值4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.2波矢k的意义和取值11(3)周期性边界条件与k的取值4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.2波矢k的意义和取值由上式可知，波矢k具有分立取值特征，且在倒空间均匀分布。12(3)周期性边界条件与k的取值可求每个允许的k在倒空间所占体积4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.2波矢k的意义和取值由波矢k的表达式13(3)周期性边界条件与k的取值可求单位k空间体积所含分立取值的k数目(密度)给出k标度下的电子态密度，并考虑每个k态可被自旋相反的二个电子占据由于k的量子数意义和特征，布洛赫函数下标给出

5、k,以示不同电子状态。4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.2波矢k的意义和取值根据每个允许k在波矢空间所占体积144.2.3能带----讨论晶格周期场中电子能量的一般属性4.2周期场中单电子状态的一般属性154.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.3能带将傅里叶级数展开后的势函数和波函数代入薛定鄂方程经对r二次微分运算，得到级数形式薛定鄂方程，164.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.3能带进一步对级数形式薛定鄂方程是关于波函数展开系数a(G)的线性方程组。并利用本征函数的正交性17由于l,m取遍所有倒格矢，因此上式是与倒格矢数目相同的关于波函数展开系数a(G)的联列方程组。

6、原则上，由此方程组解出a(G)，可确定波函数k(r)的表达式。根据线性代数理论，上述线性齐次方程组有非零解的充要条件是关于a(G)系数行列式为零。这是一个以l为行指标，m为列指标的行列式，行列式中k，G，V(G)都是已知常数，只有E(k)待定。4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.3能带18由行列式解出系统的能量本征值En(k)n=1,2,3,……可解出En(k)对应的本征函数的展开系数an,k(G)。4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.3能带将En(k)代入每个En(k)又是k的函数，已知k在第一布里渊区分立取值。原则上我们解出了系统的全部能量本征值和对应的本征函数。19能

7、带结构：能量本征值En(k)不仅和n有关，同时也和k有关。根据k在第一布里渊区的不同分立取值。对于每个给定的n，En(k)包含了由于k的不同取值所对应的不同能级，称为一个能带。指标n用来标记不同的能带。同一能带中相邻k值的能量差别很小，En(k)近似为k的连续函数。相邻二个能带间可能出现电子不允许有的能量间隙，称为禁带。En(k)的总体称为晶体的能带结构。4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.3能带204.2.4能带和布洛赫函数