高三数学一轮专题复习-------复数(有详细答案)

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1、复　数考情分析考点新知①了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.　　能准确用复数的四则运算法则进行复数加减乘除的运算.②理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算．1.(课本改编题)复数z＝＋i的共轭复数为________．答案：－i解析：∵z＝＋i，∴z－＝－i.2.(课本改编题)已知z＝(a－i)(1＋i)(a∈R，i为虚数单位)，若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a＝________．答案：1解析：z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，∵z在复平面内对应

2、的点在实轴上，∴a－1＝0，从而a＝1.3.(课本改编题)已知i是虚数单位，则＝________．答案：－＋i解析：＝＝＝－＋i.4.(课本改编题)设(1＋2i)＝3－4i(i为虚数单位)，则

3、z

4、＝________．答案：解析：由已知，

5、(1＋2i)z－

6、＝

7、3－4i

8、，即

9、z－

10、＝5，∴

11、z

12、＝

13、z－

14、＝.5.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C分别对应复数3＋3i，－2＋i，－5i，则第四个顶点D对应的复数为________．答案：5－3i解析：对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i，对应复数为zD－(3＋

15、3i)，平行四边形ABCD中，＝，则zD－(3＋3i)＝2－6i，即zD＝5－3i.1.复数的概念(1)虚数单位i:i2＝－1；i和实数在一起，服从实数的运算律．(2)代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．2.复数的分类复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，z是实数b＝0，z是虚数b≠0，z是纯虚数a＝0，b≠0．3.a＋bi与a－bi(a，b∈R)互为共轭复数．4.复数相等的条件a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)a＝c且b＝d.特殊的，a＋bi＝0(a、b∈R)a＝0且b＝0.5.设复数z＝a＋

16、bi(a，b∈R)，z在复平面内对应点为Z，则的长度叫做复数z的模(或绝对值)，即

17、z

18、＝

19、

20、＝.6.运算法则z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(3)＝＋i.[备课札记]题型1　复数的概念例1　已知复数z＝＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z为实数时，则有　所以所以m＝6，即m＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有m2－

21、5m－6≠0且有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1.∴m≠±1且m≠6.所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有所以故不存在实数m使z为纯虚数．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时．(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数．解：(1)由z∈R，得解得m＝－3.(2)由z是虚数，得m2＋2m－3≠0，且m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)由z是纯虚数，得解得m＝0或m＝－2.题型2　复数相等的条件例2　若(a－2i)i＝b－i，其中a

22、，b∈R，i是虚数单位，求点P(a，b)到原点的距离．解：由已知ai＋2＝b－i，∴∴点P(－1，2)到原点距离

23、OP

24、＝.设复数＝a＋bi(a、b∈R)，则a＋b＝________．答案：1解析：由＝－＝＝i，得a＝0，b＝1，所以a＋b＝1.题型3　复数代数形式的运算例3　已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：(z1－2)(1＋i)＝1－iz1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i

25、.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.设i是虚数单位，若z＝＋ai是实数，则实数a＝________．　答案：解析：z＝＋ai＝＋ai＝＋i∈R，所以a－＝0，a＝.题型4　复数的几何意义例4　已知O为坐标原点，向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(a∈R)，若1＋z2是实数．(1)求实数a的值；(2)求以，为邻边的平行四边形的面积．解：(1)∵1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i是实数，∴a2＋2a－15＝0.∴a＝3，a＝－5(舍)

26、．(2)由(1)知，z1＝＋i，z2＝－1＋i，∴＝，＝(－1，1)，∴

27、

28、＝，

29、

30、＝，cos〈，〉＝＝＝.∴sin〈，〉＝＝，∴S＝

31、

32、

33、

34、sin〈，〉＝××＝.∴平行四边形的面积为.如图所示，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0、3＋2i、－2＋4i，试求：(1)、所表示的复