高三数学一轮复习复数

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1、数系的扩充——复数最新考纲1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．3．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．高考热点复数是高考的必考内容，通常以选择题、填空题的形式考查复数的概念与代数运算，也有可能是与三角函数、二项式定理等知识交汇的题目.1.复数的意义形如z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫，满足，a叫做，b叫做，复数集记作，数集N，Z，Q，R，C的关系是.z＝a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是；是虚数的充要条件是；是纯虚数的充要条件

2、是.2．复数的相等两个复数相等，则．虚数单位i2＝－1实部虚部Cb＝0b≠0a＝0且b≠0它们的实、虚部分别相等(1)注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．(2)复数是实数的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．(3)熟悉扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值．题型一复数的基本概念问题思维提示复数相等、纯虚数、虚数等概念[分析]根据复数的有关概念，转化为实部与

3、虚部分别满足的条件去求解．[规律总结]解决与复数的基本概念和性质有关的题目时，要充分利用使它们成立的充要条件，同时注意复数和实数的区别与联系．数的概念扩充到复数后，实数集中的一些运算性质、关系，在复数集上不一定成立，但利用复数的有关概念和复数相等的充要条件，把复数问题实数化是解决复数问题的关键.备考例题1题设条件不变，如果复数z对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．[分析]利用复数的运算法则及特殊复数的运算性质求解．[规律总结](1)复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算．复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(

4、合并同类项)，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．(2)在复数运算中要注意分析表达式的结构特征，有效地进行简化运算，提高解题速度.例3已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩NM，M∩N≠Ø，求整数a、b.题型三

5、复数相等思维提示实部与虚部分别相等[解]依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②由①得a＝－3，b＝±2，经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去．∴a＝－3，b＝2.由②得a＝±3，b＝－2.又a＝－3，b＝－2不合题意．∴a＝3，b＝－2.综合①②得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.[规律总结]此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时应注意知识之间的相互联系，应注意思维的广阔性和严谨性的训练.备考例题3已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y

6、.解：设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－bi，例4设关于x的方程x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0，若方程有实数根，求方程的实根和锐角θ.题型四简单的复数方程思维提示利用复数相等的定义[规律总结]对于复系数一元二次方程，不可用判别式Δ来判断此方程有无实根，而应该运用复数相等的条件转化为实数方程进行讨论.备考例题4试分析方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根？并解方程．一、概念理解错误例1两个互为共轭复数之差是()A．实数B．纯虚数C．0D．零或纯

7、虚数[答案]D[答案]A[错因分析]对i的乘方的性质i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i掌握不好而见到高达2005次幂时无从下手．启示：熟练掌握并灵活应用i的乘方的性质，进行有关问题的代数运算，比较方便.