讲义~4-4极坐标及参数方程知识点及高考题汇编

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1、极坐标及参数方程知识点及例题一、极坐标知识点1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为

2、终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。5．极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式6.曲线的极坐标方程：1．直线的极坐标方程：若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线

3、过极点（2）直线过点且垂直于极轴（3）直线过且平行于极轴方程：（1）或写成及（2）（3）ρsinθ=b2．圆的极坐标方程：若圆心为，半径为r的圆方程为：几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，r为半径（2）当圆心位于(a>0),a为半径（3）当圆心位于，a为半径方程：(1)(2)(3)7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.二、参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意

4、一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。）相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2．曲线的参数方程（1）圆的参数方程可表示为.（2）椭圆的参数方程可表示为.（3）抛物线的参数方程可表示为.（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.规律方法指导：　　1、把参

5、数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。极坐标方程典型例题1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为________．解析　直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．答案　2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲

6、线的直角坐标方程为________．解析　∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.3．(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析　ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为.4．在极坐标系中，直线l的方程为

7、ρsinθ＝3，则点到直线l的距离为________．解析　∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)，∴点到直线l的距离为2.5．(2011·广州调研)在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析　由ρsin＝2，得(ρsinθ＋ρcosθ)＝2可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2＝2＝4.考点一极坐标与直角坐标的互化【例1】►(2011·广州测试(二))设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为______

8、__________．[审题视点]先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程．【解析】∵点A的极坐标为，∴点A的平面直角坐标为(，1)，又∵直线l过点A且与极轴所成的角为，∴直线l的方程为y－1＝(x－)tan，即x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理