142正余弦函数的性质(一)教案设计

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1、1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)---周期性黄峻教材依据:人教A版必修4第1.4.2节设计思路:周期函数的定义是教学中的一个难点.在教学中，可以从“周而复始”“重复出现”出发，通过实际模型，通过“每隔一定时间就会出现”“函数值就重复出现”等比较通俗的语言,一步步使语言精确化逐步抽象出函数周期性的定义.三角函数周期性的学习是为学习三角函数的图像与性质提供了研究背景，教学时应充分运用这个背景来突出“建立描绘周期性现象的数学模型”这一要点.教学中可以引导学生通过对实例和三角函数图像的具体观察与分析，帮助认识周期及周期函数.为有效地利用多媒体技术这一教学的辅助手段,和增

2、强学生的自主学习意识,在课前还给学生分发了本节课的导学案.教学目的：知识目标：理解周期函数，周期和最小正周期的定义。能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。德育目标：通过学生自己观察函数图像而导出周期性，体会从特殊推广到一般以及数形结合的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，从而激发学生学数学的兴趣。教学重点：正、余弦函数的周期性,周期的求法。教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用。教具：多媒体,投影仪,导学案。教学过程：一、情境引入：1.问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）每年的四季变

3、化的规律如何呢？2.实际上,在数学知识中,也有这种“周而复始”“重复出现”的现象.我们用“周期性”这个概念来描绘这种变化规律.二、新知探究：1.周期函数的概念探究1:观察正弦曲线的图象后总结规律：正弦函数图像规律如下：（观察图象）①正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；②规律是：每相隔2p，图像会重复出现一次（或者说每隔2kp,kÎZ会重复出现）；③这个规律由诱导公式sin(2kp+x)=sinx可以说明探究2:上面的结论如何表述?符号语言：当增加（）时，总有．文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；也即：当任意自变量增加时，正弦函数的值会重复出现；正弦函

4、数的这种性质我们就称之为周期性，正弦函数称为周期函数，2kπ(k∈z且k≠0)为这个函数的周期.探究3:如何定义周期函数?周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。探究4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？答：周期函数的周期不止一个.如±2π,±4π,±6π等等都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.最小正周期的定义:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,

5、则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.探究5：我们知道±2π,±4π,±6π等等都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有正周期吗？若有，它的值是多少？答：正弦函数y=sinx有最小正周期，它是T=2π2.学以致用：问题1：判断下列说法是否正确①函数f(x)=sinx，x∈[0，4π]是周期函数()②函数f(x)=sinx（x≥0）是周期函数()③函数f(x)=sinx（x＜0）是周期函数()问题2：周期函数的定义有什么特点？说明：①周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM,且若T>0则定义

6、域无上界；T<0则定义域无下界；“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如问题1①中x=π∈[0，4π]，但π+4π=5π就不属于[0，4π]）(任意性)②周期是一个非零实数.(非零性)③周期T往往是多值的（如y=sinx中±2π,±4π,±6π…都是周期）(多值性)问题3：观察正弦曲线，就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？从图象上可以看出，；，的最小正周期为；问题4：是不是所有的周期函数都有最小正周期？答：错误（没有最小正周期）3、例题讲解例1求下列三角函数的周期：(1)，；(2)，；（3），．解：（1）∵，∴自变量只要并且至少要增加到

7、，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是．（2）∵，∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是．（3）∴自变量只要并且至少要增加到x+4，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是4．请思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中为常数，且，）的周期；（2）若，如：①；②；③，．则这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数及函数,（，ω≠0）的周期三、巩固与练习口答P36面T1T2探究:例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)=-f(x)，试判断f(x