对易力学量本征函数之间的关系

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1、对易力学量本征函数之间的关系（刘中胤2007211510物理基地班）摘要：通过在学习量子力学过程中遇到的关于对易力学量之间及不可对易力学量之间本征函数之间的关系的问题进行展开，讨论简并及不简并力学量之间本征函数关系。关键词：力学量、本征函数、对易、线性关系。我们都知道力学量用算符来表示，而实验测量值则由本征方程求得，如果力学量算符有共同的本征函数系则它们对易，如果算符对易则它们有共同的本征函数系。而如果两个力学量对易，则它们同时具有确定值。根据这种观点，如果力学量A与力学量B对易，而A又与C算符对易，但是B与C不对易。我们进行如下推理，B算符实验测量值确定后，A的测量值就

2、确定了，而A的测量值确定后，C的本征值就确定了，也就是说B与C实验测量值同时确定，而由不确定关系，B与C的本征值不能同时确定。显然，这样推理肯定有问题。那么到底问题出在哪里了。我们再来看另一个问题，我们说如果算符A与算符B对易的话，A与B有共同的本征函数系。如果A又与C对易，而C不与B对易。A与B对易，则A与B具有共同的本征函数系，A与C对易，则A与C具有共同的本征函数系，则B与C的本征函数系相同。B与C不对易，则它们的本征函数系不同，与前面推得的矛盾。对于上面两个问题，可能你轻易就看出了其中的问题所在，即A算符的本征函数简并。的确问题就在这里，那么A、B、C的本征函数之

3、间到底是怎么个关系呢。下面做一些推理及讨论。下面我们来求对易力学量的共同本征函数系：（可参见曾谨言《量子力学》卷一P140）ˆBˆ(1)如果[A，]=0.我们先假定Aˆϕn=Anϕn（1）即ϕn是Aˆ的本征态，相应的本征值为An。接下来讨论An简并与不简并时与Bˆ的共同本征函数系。先设An不简并。利用[Aˆ,Bˆ]=0,可知Aˆ(Bˆϕ)=BˆAˆϕ=BˆAϕ=ABˆϕnnnnnn及Bˆϕn也是Aˆ的本征态,本征值为An,而An不简并,则Bˆϕn与ϕn最多只能差一常数因子,记为Bn,即Bˆϕn=Bnϕn（2）这样ϕn就是Aˆ与Bˆ的共同本征函数.(2)An有简并(fn重)

4、,即ˆαfAϕnα=Anϕnα(=1,2,3,4,5...n)(3)假设ϕnα已正交归一化,但ϕnα并不一定就是Bˆ的本征态。ˆBˆ但考虑到A与对易AˆBˆϕ=BˆAˆϕ=BˆAϕ=A(Bˆϕ)nαnαnnαnnα即Bˆϕnα仍然是Aˆ的本征态，本征值为An。则Bˆϕnα必然是Bˆϕ=∑Bϕ本征值ϕnα的叠加，nαα'αnα'(4)α'其中Bα'α=(ϕnα',Bˆϕnα)(5)可见，一般来说，ϕnα还不是Bˆ的本征态。但我们不妨把ϕnα线性叠加（n固定），令φ=∑CαϕnααAˆφ=∑CAˆϕ=∑CAϕ=Aφ不难看出αnααnnαn(6)αα即φ仍是Aˆ的本征态，而且对

5、应本征态为An。那么它是否可能有是Bˆ的本征态呢？即能否满足Bˆφ=B'φ（B'为常数）(7)呢？下面我们证明，这是能做到的。因为，利用式（4）Bˆφ=∑CBˆϕ=∑CBϕαnααα'αnα'（8）ααα'而B'φ=B'∑Cα'ϕnα'（9）α'可以看出，如能找到Cα，使满足∑CαBα'α=B'Cα'（10）α则我们的目的就达到了。上式可改写成fn∑(Bα'α−B'δα'α)Cα'=0（11）α=1这是Cα的线性齐次代数方程，邮非平庸解得充要条件是detB−B'δ=0α'αα'α（12）左边是fn×fn行列式，上式是B'的fn词幂代数方程。由ˆ+=ˆB=B*f于BB，即α

6、'ααα'，可以证明此n次代数方程的根式存在的。这fn个根分别记为Bβ（β=1，2，3......fn），即相应的波函数记为φnβfnφnβ=∑Cβαϕnα（13）α=1这样的波函数φnβ共有fn个（β=1，2，3......fn),满足Aˆφ=AφnβnnβBˆφ=Bφ（14）nββnβˆBˆφnβ即使我们要找的A与得共同本征态.我们再回到前面提到的问题。由以上推导，我们得出，如果两算符对易，则其中一个得本征函数可由另一个算符的ˆBˆBˆ本征函数线性叠加而成。如果A与对易，则的本征函ˆAˆCˆ数可由A的本征函数线性叠加而得到，那么又与对易ˆCˆ的话，A的本征函数也可由的

7、本征函数线性叠加而成吗？ˆCˆ如果能，显然B本征函数就可由的本征函数线性叠加而ˆCˆ成，那么B与一定对易，当然这是不可能的。问题出在哪里呢？下面指出其中的问题所在：ˆBˆAˆCˆBˆCˆ对于A与对易，又与对易，而不与对易的ˆBˆCˆ时候，可以证明A算符本征态必定简并。而和的本征ˆAˆ态均可由A的本征态线性叠加而成。而的本征态不是都ˆCˆ能由B或的本征态叠加而成。所以以上出问题的推导过程ˆBˆAˆCˆBˆ有误。那么，对于A与对易，又与对易，而不与ˆAˆBˆCˆC对易的时候，、和算符间到底有什么样的关系。由式（14）知对易算符间，