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《算符的对易关系两力学量同时有确定值的条》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系CommutationrelationofoperatorsConditionsoftwomechanicalquantitiessimultaneouslywithdeterminevalueUncertaintyrelation一、算符间的对易关系(Commutationrelationofoperators)二、对易关系的物理意义(Physicalsignificanceofcommutationrelation)三、非对易关系的物理意义——测不准关系(Physicalsignificanceofcom
2、mutationrelationUncertaintyrelation)1,基本对易式:§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系CommutationrelationofoperatorsConditionsoftwomechanicalquantitiessimultaneouslywithdeterminevalueUncertaintyrelation一、算符间的对易关系(Commutationrelationofoperators)2,角动量算符的对易式:角动量算符定义:εαβγ—列维--斯维塔(Levi-Civita)符号同理可证:[例题
3、]证明(原课件):因是任意的函数,所以解:取任意函数,由于解:因为[例题]证明(原课件):又因为证明:设即有一般情况:设任意波函数态为,因φn组成完备系,所以二、对易关系的物理意义(PhysicalSignificanceofcommutationrelation)1,定理1:如果两个算符F和G有一组共同的本征函数φn,而且组成完备系,则算符F和G对易.证明:(1),非简并,设2,定理2:如果两个算符F、G对易,则这两个算符有共同的本征函数,这些本征函数组成完备系.又因fn是无简并的,所以:(2),简并时:设F的本征值fn有简并,简并度为sng是的本征值G^为
4、了n也是的本征函数,令G^显然:n是的本征函数,本征值为fn.F^同时左乘,积分①,若无重根:可解出sn个gj(j=1,2,…)分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解所以相应的波函数F^即:nj是、的共同本征函数,本征值分别为fn,gjG^所以:F^属于fn的sn个本征函数niG^可按的sn个本征值gj来分类一组(fn,gj)确定的本征函数nj,sn度简并解除.对易关系的物理意义:若两算符对易,则两算符存在共同本征函数.在其共同本征函数所描写的态中,两算符表示的力学量同时有确定的值.因为的本征函数nj构成完全系,所以、的共同本征函数也组成完全系.
5、F^G^F^F^G^②,若有重根:则还需再找出与、对易的力学量,才能确定体系的状态.相应的本征值为:px,py,pz共同本征函数在nlm态下,能量,角动量平方,角动量z分量同时具有确定值.3,力学量完全集要完全确定系统所处的状态,需要一组相互对易的力学量(通常通过它们的本征值),这一组完全确定体系状态的力学量称之为力学量的完全集合.如:L2本征值有简并:确定的l(l+1)h2,有2l+1个要完全确定状态Ylm(θ,φ),需确定m,当l,m同时确定时,状态才能唯一确定.而m与力学量Lz相对应.即需另找一个与L2对易的力学量,才能确定完全状态.例:①,三维空间中自由粒
6、子的自由度是3,完全确定它的状态需三个力学量.px,py,pz.^^^②,氢原子中电子自由度是3,完全确定它的状态需3个相互对易的力学量.H,L2,Lz.^^^构成一组力学量完全集.^^(L2,Lz)下面讨论一般情况:设任意两力学量,相应的算符且满足:相应的涨落:考虑积分:三、非对易关系的物理意义——测不准关系(PhysicalSignificanceofcommutationrelationUncertaintyrelation)问题:若系统处于F的本征态,测力学量F时,F有确定值,亦即涨落△F2=0,如同时测量另一力学量G,则△G2=?由不等式成立条件:测不准关
7、系如:①,坐标与动量的测不准关系:②,能量与时间的测不准关系:注:测不准关系是物质粒子波粒二重性矛盾的反映,标志着经典粒子及力学量的概念对于微观粒子的适用程度.由于普朗克常数非常小,在一般的宏观现象中,不妨引用轨道的概念,但在处理微观世界中的现象时,必须用测不准关系.[例题]用测不准关系计算线性谐振子的基态零点能量(P81).[解]:谐振子平均能量为由测不准关系:解:设氢原子基态的最概然半径为R,则原子半径的不确定范围可近似取为对于氢原子,基态波函数为偶宇称,而动量算符为奇宇称,能量平均值为[例题]利用测不准关系估计氢原子的基态能量(P92:3.13).基态能量
