算符对易关系；两个力学量同时有确定值的条件；测不准.ppt

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1、§7算符对易关系；两个力学量同时有确定值的条件；测不准关系（一）两个力学量同时有确定值的条件（二）算符对易关系的物理含义（三）力学量的完全集合（四）测不准关系（一）两力学量同时有确定值的条件体系处于任意状态（x）时，力学量F一般没有确定值。如果力学量F有确定值，（x）必为F的本征态，即如果有另一个力学量G在态中也有确定值，则必也是G的一个本征态，即结论：当在态中测量力学量F和G时，如果同时具有确定值，那么必是二力学量共同本征函数。（二）两算符对易的物理含义所以？是特定函数，非任意函数也！例如：=0的态，Ym=Y00LxLz同时有确定值。但是，如果

2、两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。考察前面二式：定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。证：由于n组成完备系，所以任意态函数(x)可以按其展开：则因为(x)是任意函数逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。证：考察：n也是G的本征函数，同理F的所有本征函数n（n=1，2，…)也都是G的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.仅考虑非简并情况即：与n只差一常数Gn定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。例1：例2

3、：例3：例4：（三）力学量完全集合（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：例2：氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：例3：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。（1）测不准关系的严格推导（2）坐标和动量的测不准关系（3）角动量的测不准关系（四）测不准关系（1）

4、测不准关系的严格推导由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题：两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：测量值Fn与平均值的偏差的大小。（1）测不准关系的严格推导证：II测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：是算符或普通数最后有：对任意实数均成立由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：两个不对易算符均方偏差关系式测不准关系均方偏差其中：（2）坐标和动量的测不准关系表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越

5、小，另一就越大。（a）测不准关系（b）线性谐振子的零点能振子能量被积函数是x的奇函数n为实处n=0于是：二均方偏差不能同时为零，故E最小值也不能是零。为求E的最小值，取式中等号。则：求极值：解得：因均方偏差不能小于零，故取正零点能就是测不准关系所要求的最小能量（c）角动量的测不准关系例1：利用测不准关系证明，在Lz本征态Ylm下，〈Lx〉=〈Ly〉=0证：由于在Lz本征态Ylm中，测量力学量Lz有确定值，所以Lz均方偏差必为零，即则测不准关系：平均值的平方为非负数欲保证不等式成立，必有：同理：例2：L2，LZ共同本征态Ylm下，求测不准关系：解：由例1可知

6、：由对易关系：等式两边右乘Lx将上式两边在Ylm态下求平均：将上式两边在Ylm态下求平均：则测不准关系：作业周世勋《量子力学教程》第三章作业见课本