力学量算符之间的对易关系

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1、力学量算符之间的对易关系∧讨论微观态ψ中某一力学量F时，总是以F的本征质谱作为力学量F的可能值。若我们同时观测状态ψ中的一组不同力学量F,G,L，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。主要内容有：一个关系：力学量算符之间的对易关系⎧共同本征态定理（包括逆定理）⎪三个定理⎨不确定关系⎪⎩力学量守恒定理1算符之间的对易关系1.1算符的基本运算关系∧∧∧∧（1）算符之和：算符F与G之和F+G定义为∧∧∧∧(F+G)ψ=Fψ+Gψ（1）∧∧∧∧∧∧p2∧ψ为任意函数。一般F+G=G+F，例如粒子的哈密顿算符H=+U(r)=T+U(r)是2μ∧动能算符T与势能算符U(r)之和。

2、∧∧（2）算符之积：算符F与G之积定义为∧∧∧∧(FG)ψ=F(Gψ)（2）∧∧∧∧显然，算符之积对函数的作用有先后作用次序问题，一般不能颠倒，即FG≠GF常记为∧∧∧∧FG−GF≠0（3）∧∧n个相同算符F的积定义为算符F的n次幂∧d∧d2∧dn2n例如F=，则F=，F=。2ndxdxdx为了运算上的方便，引入量子括号∧∧∧∧∧∧⎡⎤F,G=FG−GF（5）⎢⎥⎣⎦∧∧⎡⎤若F,G≠0（6）⎢⎥⎣⎦∧∧∧∧∧∧称算符F与G是不对易的（不能交换位置），即FG≠GF。1∧∧⎡⎤若F,G=0（7）⎢⎥⎣⎦∧∧∧∧∧∧称算符F与G是对易的，即FG=GF。下面几个经常使用的对易关系，请

3、自行证明。∧∧∧∧⎧[F,G]=−[G,F])8(⎪∧∧∧∧∧∧∧⎪⎪[F,G+M]=[F,G]+[F,M])9(⎨∧∧∧∧∧∧∧∧∧⎪[F,GM]=G[F,M]+[F,G]M(10)⎪∧∧∧∧∧∧∧∧∧⎪⎩[FG,M]=F[G,M]+[F,M]G(11)1.2坐标算符与动量算符的对易关系坐标算符是乘数因子，相互对易[]x,y=0[y,z]=0[z,x]=0（12）22∂∂动量算符是微分算符，因为=，则∂x∂y∂y∂x∧∧∧∧∧∧⎡⎤⎡⎤⎡⎤p,p=0p,p=0p,p=0（13）⎢⎣xy⎥⎦⎢⎣yz⎥⎦⎢⎣zx⎥⎦坐标算符与动量算符：设ψ为任意函数⎧∧∂xpψ=−ihxψ⎪x⎨

4、∂x∧∂∂⎪pxψ=−ih(xψ)=−ihψ−ihxψx⎩∂x∂x∧∧比较后可得xpψ−pxψ=ihψ，即xx∧⎡⎤x,p=ih（14a）⎢x⎥⎣⎦∧∧⎡⎤⎡⎤但是x,p=0x,p=0（14b）⎢⎣y⎥⎦⎢⎣z⎥⎦同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为∧⎡⎤x,p=ihδ(14c)⎢ij⎥ij⎣⎦∧∧∧∧其中x=(i=)3,2,1≡(x,y,z)p(j=)3,2,1≡(p,p,p)ijxyz※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此导出。1.3角动量算符的对易关系2∧∧∧⎧[L,x]=[,0L,y]=ihz[,L,z]=−ihy

5、⎪xxx⎪∧∧∧⎨[Ly,x]=−ihz[,Ly,y]=[,0Ly,z]=ihx(15)⎪∧∧∧⎪[Lz,x]=ihy[,Lz,y]=−ihx[,Lz,z]=0⎩只证明其中一个，请注意证明方法∧∧∧∧∧[L,y]=[yp−zp,y]=[yp,y]−[zp,y]xzyzy∧∧∧∧=y[p,y]+[y,y]p−z[p,y]−[z,y]pzzyy∧=−z[p,y]=ihzy记忆方法：从左至右以x→y→z→x依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有∧∧∧∧∧∧∧∧⎧[L,p]=[,0L,p]=ihp[,L,p]=−ihp⎪xxxyzxzy

6、⎪∧∧∧∧∧∧∧∧⎨[Ly,px]=−ihpz[,Ly,py]=[,0Ly,pz]=ihpx（16）⎪∧∧∧∧∧∧∧∧⎪[Lz,px]=ihpy[,Lz,py]=−ihpx[,Lz,pz]=0⎩∧∧∧∧∧∧∧∧∧另外有[L,L]=ihL[L,L]=ihL[L,L]=ihL（17）xyzyzxzxy∧∧∧L×L=ihL（18）1.4几个重要的推论（请大家自行导出）∧∧∧∧∧∧∧∧2222)1([L,L]=[L,L]+[L,L]+[L,L]=0zxzyzzz∧∧2[L,L]=,0j=)3,2,1(=(x,y,z)（19）j∧∧∧∧∧∧2222)2([L,p]=,0[L,p]=,0[

7、L,p]=0（20）j∧（3）球坐标下L是θ,ϕ的函数，若有径向函数算符U(r)，则∧∧2[L,U(r)]=,0[L,U(r)]=0（21）∧∧22)4([L,r]=,0[L,r]=0（22）i2共同本征函数完备系2.1共同本征函数完备系带来算符对易∧∧∧∧设两个算符F和G有一个共同的本征函数ϕ，则必有Fϕ=λϕ及Gϕ=λϕ，即在ϕ态nnannbnn中可以同时确定这两个力学量的数值，那么∧∧∧∧(FG−GF)ϕ=(λλ−λλ)ϕ=0nababn3∧∧∧∧这似乎提醒我们有(FG−GF)=0，但