《量子力学》自学辅导 06 力学量算符之间的关系new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第13卷第2期】994年2@量子力学》自学辅导之六——力学量算符之间的关系秆曾心愉‘宋宇辰’V裴文杰弓f(1复．大学物理系，2复大学理论物理骨干教师班．J：海200433)讨论微观状态巾某一力学量F时，总是F的【F．q=一【G，用(8)书征值诺作为力学量F的可能值．若我们同时观测状【F，G-I-M=IF．G1-I-IF，(9)态q的一组不同『由力学量F，G，将会得到什么[F，G=G【F，MI-I-IF，6"1M(10)结果呢?这一讲我们主要计论这个『口】题．主要内容有：[FG

2、，=FIG，卅-I-【F．MIG(I】)p一个关系：力学量算符之间的对易关系；1．2坐标算符与动量算符的对易关系r共同本征态定理(包括逆定理)移三个定理<不确定关系坐标掉符就是乘数因子，所以相互对易l力学量守恒定理【，0，【Y，：l=0(t2)壹虐丧移／理物学赶一S眦Ⅲ眦∞1算符之间的对易关系动量算符是微分算符，因—=—，故‘u1．1算符的基本运算关系[P·O．【PP=】=0(13)(1)算符之和：葬符F与G之和(+G)定义为坐标算符与动最算符：设为任意函数，由(F+G=F+G(】)一寺为任意函数．一般F+G=G+F．例如

3、粒子哈密顿簿掉符=一+U【，)=+U【，)是动能算符T与势及一丢()__一去‘“比较可见一=，即能算符u(r)之和．I，(14a)(2饼：符之积：算符F和G．的积FG定义为但是AJ：0，Ix，=0(14b)(FG)=F(G)(2)同理可得其它坐标及动量掉符灼对易关系．可概括为参址然，算符之积对函数的作片j有先后作片i次序问题I．，=访(1)丧一般不能颠倒，即FG≠GF，常记为其中_=(f=1，2．3)一(．Y，：)，U=1，2，3)一FG—GF#0(3)I)个相同算符F的积定义为算符F的次幂，五．：)坐标与动量间的对易关系

4、是基础，其它力^^^^学最时易关系都可以从这里导出．F=F·F---⋯·f4)个1．3角动量算符的对易关系r=，删=、=斋‘[L，=0．【L=阮，[L．=一谛1为了运算J：的方便，引入置于括号IL，叫：一，[L,yl=0，【Lv，：】=i}(15),IF，G1=FG—GF(5)IL=，xl=，【L=，，】：一，IL=，司=0J若I6"I≠0(6)称掉符G是不对易的(不能交换位置)．fF．6]=0(7)卅=f一州=f=，川一[：称G是对易的即FG=GF=【：卅4-．j一一：【，一[：，而几个经常使j}j的对易关系请大家自行证

5、明：=一：，：+44维普资讯http://www.cqvip.coml忆方法：从走至右以：依次循环指标有确定值，(H-I)及，，所以Y(0，)是Z￡一的为，任何一个指标错位则为负，相同指标则为零．共同本征函数，并且是完备的．所以『￡，￡，1=0．川相同的推导方法及记忆规律，有22逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备系的共同本征函数．J=o，】：面=，[】=一唧]【l】=一i礁，【￡，¨]：o，【，j：】=}(16)这里只就非简并本征函数系给以证明．【，=i萌，[．=一i帝，[i=，=oJ若算符F，G相互对易，对干

6、F的本征函数，有凡=(25)卫右而F(G)=G(F)=i(G妒)(26)【tL']=访L=，【L¨_L=17iL，【L：，=济．(I7)可见(G妒)也是算符F的属于本征值i的本征函数．一般合写成矢量=式已经假设i不简井，所以对应^的两个本征函数．．L×￡=17iL(I8)，(G)最多只能相差一个常数(渡函数乘或除以一1．4比较重要的推论(请读者自己导)常数所描写的态不变)所以(II，￡=[，￡=]+[i，+[￡，L-3：0G=妒(27)-般肓由此可见吼又是算符G的本征函数，本征值为．[￡，=0，，=(1，2，3)=(，，=

7、)(19)同理，对F的其它本征函数也有此结论．所以，G与F或写成[￡，Z】=0．(算符自身当然对易)有组成完备系的共同本征函数．(2)[，：0，【，=o[z，=o(2O)例如角动量算符f，J=O，所以，它们应该有(3)球坐标下￡是0，的函数，若有径向函数Uc，)组成完备系的共同本征函数y『(0，)．在(日，)作为算符，则中，力学量L与同时有确定值l“+1谛、廊：2【￡，u(厂)l=0，【，u(r)】=0(2I)氢原子中算符H=—一+U(，)“(4)【．一_=0：[L，，]=0(22)r112共同本征函数完备系【，l苦，l+

8、【c，)_2(28)2．1共同本征函数完备系带来算符对易所以H、L，．对易，它们有组成完备系的共同本征设两个力学量F和G有一个共同的本征函数，函数R(，)yJ卅(日，)，其中，力学量H，，：同时0必有F=i及G妒=^妒．即在态中可以同有确定值：E，l“+1)铲廊．时确定这两个力学量的数值．这句话也可以作