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1、双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜
2、F1F2
3、）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜
4、F1F2
5、，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当
6、MF1
7、－
8、MF2
9、=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当
10、MF1
11、－
12、MF2
13、=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=
14、F1F2
15、时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞
16、F1F2
17、时，动点轨迹不存在.
18、 2.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中
19、
20、=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部：(1)点在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系
21、(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.四．双曲线的简单几何性质 －=1（a＞0，b＞0）⑴范围：
22、x
23、≥a，y∈R⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）⑷渐近线：①若双曲线方程为渐近线方程②若渐近线方程为双曲线可设为③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是五．双曲线与的区别
24、和联系标准方程性质焦点，焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称6.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝。典型例题分析考点1双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义[例1]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间
25、差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得
26、PA
27、=
28、PC
29、，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故
30、PB
31、－
32、PA
33、=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，ABCPOxy依题意得a=680,c=1
34、020，用y=－x代入上式，得，∵
35、PB
36、>
37、PA
38、,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”【新题导练】1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若
39、PF1
40、：
41、PF2
42、=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．B．12C．D．24解析：①又②由①、②解得直角三角形，故选B。2.如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（）A．9B．16C．18D．27[解析]，选C3.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，
43、且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（）（A）（B）（C）（D）［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知，题型2求双曲线的标准方程[例2]已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组[解析]解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为－=1.解法二：设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.【名师
44、指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；[解析]设双曲线方程为，当时，化为，，当时，化为，，综上，双曲线方程为或5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线
