椭圆相关知识点复习

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1、第一部分椭圆相关知识点讲解一．椭圆的定义及椭圆的标准方程：1.椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.　注意：若，则动点的轨迹为线段；　　　　　若，则动点的轨迹无图形.2.椭圆的标准方程　　（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；　　3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当

2、焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，3.圆的参数方程：（其中为参数）.4.方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。二．点与椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内三．椭圆的简单几何性质　　椭圆：的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆

3、的交点称为椭圆的顶点。　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，　　③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。三．直线与椭圆的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切；（3）相离：直线与椭圆相离；四．椭圆与的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长=注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。6.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝

4、，若分别为A、B的纵坐标，则＝。7.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；第三部分典型例题分析类型一：求椭圆的方程1、已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．2、已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆

5、过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．3、的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．（2）设，，则．①由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．4、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点

6、作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，可求出，，从而．∴所求椭圆方程为或．类型二：过中点弦直线方程1已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将

7、，代入⑤，得，故所求直线方程为：．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：，⑦，将③④平方并整理得，⑧，，⑨将⑧⑨代入⑦得：，⑩再将代入⑩式得：，即．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．2.已知一直线与椭圆相交于A、B两点，弦A、B的中点坐标,求直线AB的方程。类型三：弦长公式1已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（1）把直线方程代入椭