线性响应理论

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1、第十四章线性响应理论§14.1线性响应函数对系统加上外场，或更一般地说，对系统施以某种扰动的话，则系统的一些性质，如热力学量，会产生相应的变化，这就叫响应(response).如果外场(扰动)比较小，则热力学量的变化与外场(扰动)成正比，为线性关系.这就是线性响应.其比例系数(一般是个函数)称为线性响应函数(linearresponsefunction).它可以用格林函数来表达.推导线性响应公式有两个前提：一是扰动较小，这儿较小的涵义是:由扰动引起的哈密顿可以作为微扰来处理.二是响应能够及时追随扰

2、动.为了做到这一点，需要假定绝热条件，令扰动是缓慢加上去的.在t=-¥时，系统处于平衡态，或叫作纯态.哈密顿量为H.扰动一般是由外场引起的.现在考虑对系统加一外场F，作为一般情况，设外场为矢量.设初始条件为(14.1.1a)如果外场本身并不含时间，为了做到这一点，可令(14.1.1b)即加上一个因子使之符合条件(14.1.1a).设扰动引起的哈密顿量为(14.1.2)其中C应是系统本身的某一个物理量.由于扰动，系统内就有一个力学量D受到变化，变化的量为DD.现在来推导这个变化量的表达式.注意，由于这

3、儿的C和D是系统本身的物理量，因此都是算符.外场F(t)不是算符.但表现了H1随时间的变化.举例来说，外加电磁场后引起的哈密顿量为(14.1.3)其中A与j为外场的矢势与标势，j与n分别为系统内的电流密度与粒子数密度算符.F、C和D这三个量也可以都不是矢量，以下的推导过程不变.假设扰动之后，总的哈密顿量为(14.1.4)未有扰动时，系统处于平衡态，统计算符是r0.(14.1.5)它与H是对易的.此时物理量D在系综内的统计平均是(14.1.6)加上扰动后，系统的统计算符应是(14.1.7)由于(14.

4、1.1)式，有(14.1.8)物理量D的统计平均是(14.1.9)我们要计算的是扰动引起的D的变化量(14.1.10)要注意的是，此式右边两项的求平均所用的状态是不一样的，见(14.1.6)和(14.1.9)两式.因为扰动肯定是要引起状态的变化的.现在我们假定，扰动虽然引起了状态的变化，但是不改变状态的数目与顺序.因而与是一一对应的.即，扰动时状态变化成.这就是状态随时间的演化.§8.2节中已经介绍过，可以用时间演化算符来表示这种变化.由于现在的哈密顿量是时间的函数，应该定义(14.1.11)态随时

5、间的演化如下.(14.1.12)此式是满足薛定谔方程的.在§8.2节中，我们已经求出了相互作用表象中的时间演化算符(14.1.13)的近似到一级的表达式为(14.1.14)见(8.2.18)式.(14.1.15)本节的HT和H分别对应于§8.2节的H和H0.D与C随时间变化的关系定义如下.，(14.1.16)状态随时间的演化如下.(14.1.17)代入(14.1.6)式，(14.1.18)其中已经忽略了相互作用的二次方项.下面再做近似，把统计权重中的能级En(t)近似为无扰动时的En.相当于(14.

6、1.9)式中取r(t)=r0.这要求扰动导致的能级的移动是很小的.(14.1.19)上面的所有近似都要求：扰动确实是微扰.如此，线性响应的公式才有效.现在可以求得(14.1.10)的结果.(14.1.20)此式说明，当加上外场F后，相应的物理量D的变化与外场成正比，比例系数正是(9.1.2)式定义的由D与另一物理量组成的推迟格林函数.此式称为久保(Kubo)公式，是线性响应理论中最基本的公式.它表示t1时刻的扰动，在t>t1时刻对D产生的影响.经常遇到的情况是D=C.下面要讲的磁化率就是一例.我们要

7、记住，如果是恒定的不随时间变化的外场，那么，绝热假设要求应该有一个因子，见(14.1.1b)式.把(14.1.20)的分量明确写出来，并且如果D还是坐标的函数，有(14.1.21)那么系数就是(14.1.22)假定推迟格林函数只是时间差t-t1的函数，那么可做傅立叶变换.为简便起见，我们忽略表示直角坐标分量的下标.(14.1.23)结果是如下的线性关系.(14.1.24)(14.1.23)式右边计算的具体步骤是：将F(t1)作傅立叶展开，写成,再将e指数上的量写成wt-w1t1=w(t-t1)-(

8、w1-w)t1,令t-t1=t，则对t的积分与t1无关，对dt1积分可得到d(w-w1),最后得到响应系数为(14.1.25)此式表明响应系数a(w)是的傅立叶分量.从§9.2节已知由格林函数可求出系统的热力学量.本节则表明格林函数可求出线性响应函数.例如由电流对电场的响应可写出电导率.由磁化强度对磁场的响应可求磁导率，以及热导率，扩散系数等等.因此，利用格林函数这一手段，几乎可了解系统的所有物理性质.现在我们把响应系数写成另一表达式，以便后面与松原线性响应系数作比较