简谐运动 机械波多解问题

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1、简谐运动、机械波的多解性简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性．在解答某些问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁．波的传播和介质各质点的振动之间有密切的内在联系，在求解此类问题时，如果质点振动或波的传播方向不确定和波的传播时间不确定等，就容易出现多解现象．解题时往往人为地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向，造成漏掉一个相反方向的可能解．如果解题中又不能透彻分析题意，合理使用已知条件，就会造成解答不完整，或用特解代替通解现象．简谐运动的多解性简谐振动的多值性：

2、作简谐振动的质点，是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同．简谐振动是周期性的运动，若运动的时间与周期存在整数倍的关系，质点运动的路程是唯一的，若运动时间为周期的一半，运动的路程具有唯一性．若不具备以上条件，质点运动的位移是多值的．情形一：简谐振动的对称性引出的多值图14-1例1．一个做简谐运动的质点在平衡位置O点附近振动，当质点从O点向某一侧运动时，经3s第一次过P点，再向前运动，又经2s第二次过P点，则该质点再经s的时间第三次过P点．分析与解：由题意“从O点”出发，“过P点继续”运动知，P点不是平衡位置和

3、位移最大的特殊点，做出示意图，题中未明确质点第一次从O到P的路径，因此需多向思维，考虑到可能的两种情况．若质点沿图14-1中①的方向第一次过P点，历时3s；由P到b，再由b到P共历时2s，则由其对称性知P、b间往返等时，各为1s，从而可知=4s，周期T=16s，第三次再过P点，设由P向左到a，再返回P，历时一个周期T减去P、b间往返用的2s，需时t=(16—2)s=14s．若沿图1中②的方向第一次过P点，由对称性可知，从O到P的时间与从P到O的时间相等，设为t’，则有：由上式解得s,s，质点第三次过P点历时s，故此时的答案为

4、：14s或s．情形二：运动方向性引出的多值性例2．一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s在位移最大处发现该质点，则此简谐运动的周期可能是（　　　　）A.2sB.C.D.解：质点从平衡位置开始运动时，是先向发现点运动还是背离发现点运动，题目中并未说明，故分析时应考虑两种情况：若质点先向发现点运动，设周期为T则，t=，且n=0、1、2、3……6由上式可知答案A正确；若质点先向背离发现点运动，设周期为T则，t=，且n=0、1、2、3……由上式可知答案B正确．情形三：周期性变化引出的多值性在解决与振动有关的问题时，要充分

5、考虑到振动的周期性，由于振动具有周期性，所以此类问题往往答案不是一个而是多个．例3．如图14-2所示，光滑圆弧轨道的半径为R，圆弧底部中点为O，两个相同的小球分别在O正上方h处的A点和离O很近的轨道B点，现同时释放两球，使两球正好在O点相碰。问h应为多高？14-2分析与解：　对A球，它做自由落体运动，自h高度下落至O点对B球可视为单摆，延用单摆周期公式可求B球到对B球振动周期到达O点的时间为　　　　　　　　　　　　　　要求两球相碰，则,即　　解得：机械波的多解性机械波在传播过程中时间上和空间上的周期性、传播方向的双向性、以及

6、质点振动方向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因，解题时稍一疏忽就会出现漏解．情形一：时间、距离不确定形成多解沿着波的传播方向，间距等于数倍波长的两相邻质点振动情况完全相同；在振动时间上，间隔等于整数倍周期的两相邻质点振动情况也完全相同，所以，已知条件若没有给定波传播的时间或没有给定波传播距离，就会出现多解现象．例4.如图13-36所示，实线表示t时刻的图线，箭头表波的传播方向，虚线表示经过时间Δt后的波形图，已知波长为，试求波的传播速度．分析与解：因未给定波传播距离，比较实线波形和虚线波形，在时间Δt内，波向右传播距离

7、可能是． 图14-3故，则波的传播速度通解为：，情形二：方向不确定性出现多解波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播．若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题．例5．如图14-4(甲)所示，绳中有一列正弦横波，沿x轴传播，a、b是绳上两点，它们在x轴上的距离小于一个波长，当a点振动到最高点时，b点恰好经过平衡位置向上运动．试在图上a、b之间画出波形图．分析与解：本题没有注明波的传播方向，所以需分波向轴，轴方向传播讨论．由于a、b间距离小于一个波长．因此a、b间不足一个波形，其图像如图14

8、-4(乙)所示，①为波向轴传时波形，②为波沿轴传时的波形． 图14-4情形三：波的时间周期性而形成多解在波传播过程中，当经过的时间是周期的整数倍时，波形与原来相同，形成波的各质点的振动情况也与原来时刻相同．所以，已知条件没有给定传播时间与周期间的关系时，就会出现多解问题．如在解题时只分析传