第7章 解方程组

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1、第七章解方程组的数值方法§1引言在自然科学和工程技术中有很多问题的解决归结为求解线性方程组或者非线性方程组的数学问题。例如，电学中网络问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条的插值问题，用有限元素法计算结构力学中一些问题或用差分法解椭圆型偏微分方程边值问题等等。在工程实际问题中产生的线性方程组，其系数矩阵大致有两种，一种是低阶稠密矩阵（这种矩阵的全部元素都存贮在计算机的存贮器中）；另一类是大型稀疏矩阵（此类矩阵阶数高，但零元素较多）。本章§2一§6介绍求解线性方程组的直接法。目前这种方法是计算机上解低阶稠密矩阵的有效方法。§8将介绍计算机上解大型稀疏矩阵方

2、程组的迭代法。178§2高斯消去法高斯消去法是一个古老的求解线性方法组的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。例1用高斯消去法解方程组（2.1）解第1步：将（2.1）的第一个方程分别乘上（）和（），并分别加到第二、第三个方程上去，则得到与原方程组等价的方程组（2.2）第2步：将（2.2）的第二个方程乘上2加到第三个方程，消去其中的未知数，又得到与原方程组等价的三角形方程组178（2.3）最后由上述方程组，用回代的方法，即可求得原方程组的解为：若用矩阵来描述消去法的约化过程，即为这种求解过程，称为具有回代的高斯消去

3、法。178从这个例子看出，用高斯消去法解方程组的基本思想是用矩阵行的初等变换将系数矩阵A约化为具有简单形式的矩阵（上三角形矩阵，单位矩阵等），而三角形方程组是很容易解的。下面讨论求解一般线性方程组的高斯消去法。设有n个未知数的线性方程组（2.4）引进记号，，（2.4）可用矩阵形式表示（2.5）且为了下面讨论方便，记，。假设A为非奇异矩阵（即设）。第1步：设计算乘数，用乘上（2.4）第一个方程，加到第个方程上去即施行行的初等变换178，，消去第2个方程～第n个方程的未知数，得到（2.4）的等价方程组（2.6）记为其中（2.6）式中右上角标为（2）的元素为这一步需要计算的

4、元素，计算公式为第k步：继续上述消去过程，设第1步～第k—l步计算已经完成，得到与原方程组等价的方程组178（2.7）记为现进行第步消元计算，设，计算乘数，用乘（2.7）的第个方程，加到第个方程上去，消去第个方程的未知数，得到与原方程组等价的方程组（略），简记为其中元素计算公式为：（2.8）与前行元素相同，与前个元素相同。最后，重复上述约化过程，即且设，共完成步消元计算，得到与原方程组（2.4）等价的三角形方程组178（2.9）用回代的方法，即可求得（2.9）的解，计算公式为，（2.10）元素称为约化的主元素。将（2.4）约化为（2.9）的过程称为消元过程，（2.9）

5、求解过程（2.10）称为回代过程，由消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为高斯消去法。定理1（高斯消去法）设，其中。如果约化的主元素，则可通过高斯消去法（不进行交换两行的初等交换）将方程组约化为三角形矩阵方程组（2.9）且消元和求解公式为178消元计算，回代计算，如果A为非奇异矩阵时，但可能有某在第列存在有元素，于是可能通过交换的第k行和第行元素将调到位置，然后再进行消元计算。于是，在A为非奇异矩阵时，只要引进行交换，则高斯消去法可将约化为三角形方程组（2.9），且通过回代即可求得方程组的解。高斯消去法计算量：（1）消元计算：第k步。178计算乘数：需要作次除法运

6、算；消元：需作次乘法运算；计算：需作次乘法运算；于是完成全部消元计算共需要作次乘除法运算。（2）回代计算：共需要作次乘除法运算。于是，用高斯消去法解（其中）的计算量为共需作次乘除法运算。下面比较用高斯消去法和用克莱姆（Cramer）法则解20阶方程组的计算量。表7-l方法高斯消去法Cramer法则178计算量3060次乘除法约5次乘法如果计算工作是在每秒作次乘除法计算机上进行，那末用高斯消去法解20阶方程组约需要0.03秒时间即可完成，而用克莱姆法则大约需小时完成（大约相当于年）。由此可知克莱姆法则完全不适用在计算机上求解高维方程组。在电子计算机上用高斯消去法解低阶稠

7、密矩阵线性方程组时要注意几点：（1）要用一个二维数组存放系数矩阵A的元素，用一维数组存放常数项b分量。（2）需要输入的数据。（3）约化的中间结果元素冲掉A元素，冲掉b，乘数冲掉。例如，计算1．，；2．178；3．。（4）在高斯消去法中一般要引进行交换。（5）如果不存在，使，要输出方程没有唯一解的信息。§3选主元素的高斯消去法用高斯消去法解时，其中设A为非奇异矩阵可能出现对的情况，这时必须进行带行交换的高斯消去法。但在实际计算中即使但其绝对值很小时，用作除数，会导致中间结果矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的计算结果不可靠。例2设有方程组