第2章 解线性方程组直接解法_313007480

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1、第２章解线性方程组的直接解法§0引言若非奇异，即，方程组有唯一解。由Cramer法则，其解其中为用代替中第列所得的矩阵。当大时，个行列式计算量相当大，实际计算不现实。§1Gauss消去法（I）Gauss消去法的例子（1）（2）57方程组与方程组同解得（3）由（3）得（3）的系数矩阵为，上三角矩阵。（II）Gauss消去法，矩阵三角分解令第1次消去,令作运算：表示第个方程（第行）57如果令令进行k-1步后，得57以上完成了消去过程，A非奇异；倒着求解这称为回代过程。消去过程和回代过程结合起来称为（顺序）Gauss消去法，从消去过程可以得出。其中是一个

2、上三角阵。57记此矩阵是对角线元素为1的下三角矩阵，称其为单位下三角阵。定义1.1设令是1至阶行列式，称为A的顺序主子式。Gauss消去过程能进行下去的条件应为，而此条件必在消去过程中才能知道。定理1.2全不为零的充分必要条件是A的顺序主子式，其中证明“”（必要性）设，则可进行消去过程的步，每步由A逐次实行的运算得到，这些运算不改变相应顺序主子式的值，所以有57“充分性”设命题对于k-1成立，现设。由归纳假设有，Gauss消去可以进行k-1步。化为其中为对角元为的上三角阵。由于是由A经“一行（方程）乘一数加至另一行（方程）”逐步得到的，因此A的k阶

3、顺序主子式等于的k阶顺序主子式，即由。Gauss消去过程其中L为单位下三角阵，为上三角阵。以后记为U，那么A=LU定理1.3非奇异矩阵，若其顺序主子式，那么存在唯一的单位下三角阵L和上三角阵U，使得A=LU。证明Gauss消去过程已给出L，U。下面证明唯一性设A有两个分解，其中为单位下三角阵，为上三角阵，因A57非奇异都可逆。仍为上三角阵，也是上三角阵，为单位下三角阵可以证明，当A为奇异阵时，定理仍成立，A的LU分解，L为单位下三角阵，U为上三角阵，此分解称Doolittle分解。若将上三角阵，其中D为对角阵，为单位上三角阵，并记那么有其中为下三角

4、阵，为单位上三角阵，此分解称为Crout分解。其中L为单位下三角阵，D为对角阵，U为单位上三角阵，此称为A的LDU分解。定理1.4非奇异阵有唯一的LDU分解（D为对角阵，L为单位下三角阵，U为单位上三角阵）的充分必要条件是A的顺序主子式皆是非零。如果A奇异，上述定理也成立。§2列主元Gauss消去法例2.1用三位十进制浮点运算求解解用（顺序）Gauss消去法57在3位十进制运算的限制下，得代回第一个方程得，此解不对求解不对的原因是用小数作除数，使是个大数，在计算的值完全被掩盖了：如果对方程组先作变换，再用Gauss消去法可以得。列主元消去法进行第1

5、步消去之前，在A的第1列中选出绝对值最大的元素即，其中。由于A非奇异，有，这一步骤称为选主元。如果，则消去过程与顺序Gauss消去法一样如果，则先进行换行，然后再Gauss消去运算，得。进行了k-1步选主元，换行和消去的步骤，得，第k步先选主元，使由于非奇异，有若，则进行顺序Gauss消去法的第k步若，则对先换行：，然后再进行类似顺序Gauss消去法的运算。如上进行n-1步选主元，换行与消去法运算，得，此方程组与Ax=b等价。为上三57角阵，再回代求解。例2.2用列主元法解方程组Ax=b，计算过程取5位数字，其中解选主元，，换行再作行变换得到对选列

6、主元，，作换行，计算再作行变换，得到消去过程完。回代计算得解此题精确解为而不用列主元的顺序Gauss消去法有57§3直接三角分解方法（I）Doolittle分解法根据A的元素来确定L.U中的元素L，U的元素可由n步直接计算定出，其中第k步定出U的第k行，L的第k列。第1步，得出U的第1行元素。得出L的第1列的元素。第k步：假定已定出U的第1行到第k-1行的元素与L的第1列到第k-1列的元素。利用矩阵乘法有计算U的第k行57（1）对于计算L的第k列（2）由第1步，第2步，…，第n-1步就完成A=LU，解方程组Ax=b,LUX=b分两步Ly=by=L-

7、1b其实，L为单位下三角阵，逐次向前代入Ux=yx=U-1y其实，U为上三角阵，逐次向后回代定理3.1非奇异,，那么Ax=b可用直接分解方法来求解。例3.2求矩阵的LU分解解①先求出U的第1行②求出L的第1列：③U的第2行57④L的第2列⑤U的第3行定理3.3非奇异阵，若其顺序主子式皆非零，则存在唯一的单位下三角阵L和上三角阵U，使得A=LU同样地有A有唯一的分解，A=LDU；A非奇异条件不加，定理还真，L为单位下三角阵，D为对角阵，U为单位上三角阵。单位上三角阵A=LU（L单位下三角阵，U上三角阵），此分解称为Doolittle分解。如果把A=L

8、DU（LD）U=LU（L下三角阵，U单位上三角阵），此分解称crout分解（II）直接三角分解法解线性代数方程组A非奇异，