直线和圆学用例

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1、直线和圆综合一、直线和圆学用例例1已知，，，求点的坐标，使四边形为等腰梯形．分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题．说明：(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准，解此题时注意不要漏解．(2)在遇到两直线平行问题时，一定要注意直线斜率不存在的情况．此题中、的斜率都存在，故不可能出现斜率不存在的情况．例2当为何值时，直线与直线互相垂直？分析：分类讨论，利用两直线垂直的充要条件进行求解．或利用结论“设直线和的方程分别是，，则的充要条件是”（其证明可借助向量知识完成）解题．说明

2、：对于本题，容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误，如先认可两直线、的斜率分别为、，则，．由，得，即．解上述方程为．从而得到当时，直线与互相垂直．上述解题的失误在于机械地套用两直线垂直（斜率形式）的充要条件，忽视了斜率存在的大前提，因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑，出现了以偏概全的错误．例3已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5，求直线的方程．分析：(1)如图，利用点斜式方程，分别与、联立，求得两交点、的坐标（用表示），再利用可求出的值，从而求得的方程．(2)利用、之间的距离

3、及与夹角的关系求解．(3)设直线与、分别相交于、，则可通过求出、的值，确定直线的斜率（或倾斜角），从而求得直线的方程．说明：本题容易产生的误解是默认直线的斜率存在，这样由解法一就只能得到，从而遗漏了斜率不存在的情形．一般地，求过一定点，且被两已知平行直线截得的线段为定长的直线，当小于两平行直线之间距离时无解；当时有唯一解；当时，有且只有两解．另外，本题的三种解法中，解法二采取先求出夹角后，再求直线的斜率或倾斜角，从方法上看较为简单；而解法三注意了利用整体思想处理问题，在一定程度上也简化了运算过程．例

4、4已知点，，点在坐标轴上，且，则满足条件的点的个数是（　）．（A）1（B）2（C）3（D）4说明：①本题还可以有另外两种解法：一种是利用勾股定理，另一种是直角三角形斜边与轴交点恰为斜边中点，则由到、距离相等的性质可解．②本题易错，可能只解一个坐标轴；可能解方程时漏解；也可能看到、各有两解而误以为有四点．例5已知的一个定点是，、的平分线分别是，，求直线的方程．分析：利用角平分线的轴对称性质，求出关于，的对称点，它们显然在直线上．例6求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程．例7已知定点（3，

5、1），在直线和上分别求点和点，使的周长最短，并求出最短周长．CAxCNOyBM例七图分析：由连接两点的线中，直线段最短，利用对称，把折线转化为直线，即转化为求两点间的距离．例8已知实数，满足，求证：．．说明：本题应为不等式的题目，难度较大，证明方法也较多，但用解析几何的方法解决显得轻松简捷，深刻地体现了数形结合的思想．例9在平面直角坐标系中，，，点在上，，，试在轴的正半周上求一点，使取得最大值．分析：要使最大，只需最大，而是直线到直线的角（此处即为夹角），利用公式可以解决问题．说明：本题综合性强，是

6、三角、不等式和解析几何知识的交汇点．另外本题也是足球射门最大角问题的推广．例10　直线，求关于直线对称的直线的方程．分析：本题可有多种不同的解法，给出多种解法的途径是：一类利用直线方程的不同形式求解；另一类采用消元思想进行求解．说明：在解法一中，应注意正确运用“到角公式”，明确由哪条直线到哪条直线的角．在具体解题时，最好能准确画出图形，直观地得出关系式．在解法四中，脱去绝对值符号时，运用了平面区域的知识．否则，若从表面上可得到两种结果，这显然很难准确地得出直线的方程．本题的四种不同的解法，体现了求直

7、线方程的不同的思想方法，具有一定的综合性．除此之外，从本题的不同解法中可以看出，只有对坐标法有了充分的理解与认识，并具有较强的数形结合意识，才有可能驾驭本题，从而在解法选择的空间上，真正做到游刃有余，左右逢源．例11　不论取什么实数，直线都经过一个定点，并求出这个定点．分析：题目所给的直线方程的系数含有字母，给任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以为参数的直线系方程．要证明这个直线系的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出的两个特殊值，得到直线系中的两条直线

8、，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点．另一思路是由于方程对任意的都成立，那么就以为未知数，整理为关于的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标．说明：(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点．(2)分别令参数为两个特殊值，得方程组求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点．例12　一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室．为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框旋置桌上，斜靠展出．已知镜框对