灰色及其改进模型

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1、GM(1,1)及其改进模型1．引言灰色系统分析是我国学者邓聚龙教授于20世纪80年代前期提出的用于控制和预测的新理论、新技术[1]。由于它在建模、预测、控制等方面的独到之处，已在各个方面得到了广泛应用。郝永红、邵珠艳、李如雪分别利用灰色模型分析了中国、山东济宁和山东聊城的人口状况[6]~[8]。一个地区的总人口与很多因素有关，不是用几个指标所能表达清楚的。而且，这些因素之间的结构关系难以准确描述，其中有些因素甚至是不明确的。灰色系统理论把这样受众多因素影响，而又无法确定其复杂关系的量，称为灰色量[1]。对灰色量进行预测，不必考虑数据不准，关系不清、变化不明的因素

2、和变量，而是从自身的时间序列出发，发现和认识内在规律，并进行预测。2.常规的GM（1，1）模型灰色单数列预测，与数理统计学中的时间序列预测，有本质的不同。时间序列预测是利用时间序列的几何特征和统计规律进行预测。是一种历史的和静态的研究。而灰色数列预测是一种现实的和动态的分析与预测。这是由于灰色动态模型不是利用时间序数据直接建模，而是将序列数据作一次累加生成后，再建立微分方程。下面通过对灰色动态模型GM(1，1)[1]进行分析与讨论，来说明这个特征。时间序列有n个观察值，，通过累加生成新序列，（2.1）GM（1，1）是一个包含单变量的一阶微分方程构成的动态模型：（

3、2.2）其中是的紧邻均值生成序列，即，（2.3）式（2.2）的白化方程为：其中：称为发展系数；称为内生控制灰数。的有效区间是，应用最小二乘法求解可得：其中：8，将代入微分方程式，解出时间函数为：（2.4）3.等维灰数递补动态预测模型通常，GM(1，1)模型通过对数列维数的不同取舍，可得到一系列预测结果，而组成一个预测灰区间供决策选用。但如果GM(1，1)模型预测所得灰区间过大，那么就很难得到较为满意的结果。这是因为GM(1，1)模型预测灰平面成喇叭型展开，预测时刻越远预测的灰区间越大。因此，用已知序列建GM(1，1)模型进行预测时，建议不用这个模型一直预测下去，

4、而是只预测一个值，然后将这个灰数补充在已知数列之后，同时为不增加序列长度，去掉第一个已知数据，以保持数据列的等维，提高模型精度。即将时间序列的值，替换为再建立GM(1，1)模型，这样新陈代谢[4]，逐个预测依次递补,不断补充新的信息,使灰度逐步减低，直到完成预测目的或达到一定的精度要求为止。这种方法称为“等维灰数递补动态预测”[2]~[4]。这种改进的模型及时补充和利用了新的信息，提高了灰区间的白化度。显然，用改进后的新模型去预测下一值，比原模型进行预测要更合理，且更接近实际。当然，动态模型每预测一步模型参数做一次修正，因而预测值都产生在动态之中。随着递补次数的

5、增加灰度也在增大，信息量会越来越少，因此，递补预测也不应是无止境的。4.基于灰色理论与BP算法的人口预测模型4.1BP神经网络的引入人工神经网络(ArtificialNeuralNetworks，简称为ANN)是近年来发展起来的模拟人脑生物过程的人工智能技术。它由大量简单的神经元广泛互连形成的复杂的非线性系统，它不需要任何先验公式，就能从已有数据中自动地归纳规则，获得这些数据的内在规律，具有很强的非线性映射能力，特别适合于因果关系复杂的非确定性推理、判断、识别和分类等问题。对于任意一组随机的、正态的数据，都可以利用人工神经网络算法进行统计分析，做出拟合和预测。基

6、于误差反向传播(Backpropagation)算法的多层前馈网络(Multiple—layerfeedforward8network，简记为BP网络)，是目前应用最成功和广泛的人工神经网络[9]。下面我们就基于BP人工神经理论来建模。4.2神经网络的拓扑结构和理论建模神经网络的拓扑结构是指神经元之间的互连结构。图1是一个三层的BP网络结构。BP网络由输入层、输出层以及一个或多个隐层节点互连而成的一种多层网，这种结构使多层前馈网络可在输入和输出间建立合适的线性或非线性关系，又不致使网络输出限制在-1和1之间。图1一个三层BP网络结构BP算法通过“训练”这一事件来

7、得到这种输入、输出间合适的线性或非线性关系。“训练”的过程可以分为向前传输和向后传输两个阶段[10]~[11]：⑴向前传输阶段：①从样本集中取一个样本，将输入网络；②计算出误差测度和实际输出；③对权重值各做一次调整，重复这个循环，直到。⑵向后传播阶段——误差传播阶段：①计算实际输出与理想输出的差；②用输出层的误差调整输出层权矩阵；③；④用此误差估计输出层的直接前导层的误差，再用输出层前导层误差估计更前一层的误差。如此获得所有其他各层的误差估计；⑤并用这些估计实现对权矩阵的修改。形成将输出端表现出的误差沿着与输出信号相反的方向逐级向输出端传递的过程。网络关于整个样

8、本集的误差测度：4.3灰