灰色预测模型的改进及其应用

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西安理工大学硕士学位论文灰色预测模型的改进及其应用姓名：张军申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：王秋萍20080301 摘要论文题目：灰色预测模型的改进及其应用学科专业：应用数学研究生：张军指导教师：王秋萍副教授摘要签名：丝垒签名：卫邀蓬灰色预测模型既是灰色系统理论的重要内容之一，也是预测理论与应用中被广泛使用的一种预测方法，因此，对灰色预测模型的研究具有重要的意义。本文针对目前灰色预测模型存在的改进方法复杂、适用范围有限、预测精度不高等问题，在总结现有改进灰色预测模型成果的基础上，利用函数变换和逆变换理论、灰色系统建模理论和演化算法理论对灰色预测模型进行了改进研究，尤其对通过提高建模数据序列光滑度来提高模型预测精度方面进行了深入研究，并给出了改进方法可行性的理论证明和改进方法有效性的实例支持。主要研究内容和成果如下：1．建模数据序列的光滑度是影响灰色模型预测精度的重要因素之一。本文在平移变换和伸缩变换的基础上提出了含参线性函数变换改进的灰色预测模型，证明了含参线性函数变换能提高建模数据序列的光滑度，给出了数值算例，并分析了改进模型的拟合精度和预测效果。2．本文在对数函数变换和线性函数变换能提高建模数据序列光滑度的基础上提出了含参对数函数一线性函数变换改进的灰色预测模型和含参线性函数一对数函数变换改进的灰色预测模型。不仅从理论上证明了这两种变换方法能提高建模数据序列的光滑度，而且还通过实际算例的计算结果验证了这两种方法的有效性。3．考虑到某些幂函数变换和线性函数变换能通过提高建模数据序列的光滑度来提高灰色模型的预测精度。本文在这两种函数变换的基础上提出了含参幂函数一线性函数变换改进的灰色预测模型和含参线性函数一幂函数变换改进的灰色预测模型，并且给出了这两种函数变换均能提高建模数据序列的光滑度的理论证明，最后通过实例计算表明了这两种改进方法的有效性。4．由于函数变换改进的灰色模型能提高短期预测的精度和合适维数的等维新息模型能提高中长期预测的精度，为了提高预测模型中长期预测的精度，可以将上述两种方法的优势同时考虑进去。本文在此基础上提出了基于含参幂函数一线性函数变换改进的灰色等维新息预测模型，并通过实例验证了这种改进方法的可行性。关键词：光滑度；函数变换：灰色预测模型；精度；等维新息模型 AbstractTitle：lMPROVEMENTOFGREYFORECASTlNGMODELANDn『SAPPLICAlTIONMajor-AppliedmathematicsName：JunZhangSupervisor=Associateprof．QiupingWANGSignature：Greyforecastingmodelisallimportantpartofgreysystemtheory,alsoisawidelyusedpredictionmethodinthepredictiontheoreyandapplication．Therefore，researchongreyforecastingmodelisofgreatsignificance．Atpresent，theproblemsofgreyforecastingmodelareasfollows：theimprovedmethodiscomplex，thescopeofapplicationisconfined，andforecastingprecisionisnothigh．Againsttheseproblems，onthebasisofsummarizingtheexistingoutcomeofimprovedgreyforecastingmodel，thepaperstudyonimprovedgreyforecastingmodelusingfunctiontransformationandinversetransformationtheory,greysystemmodelingtheoryandgeneticalgorithmtheory．Particularly,theresearchonimprovinggreymodel’Sforecastingprecisionbyincreasingthesmoothdegreeofmodelingdataseriesisgiven．Andviabilityofimprovedmethodsisprovedandeffectivenessofimprovedmethodsistestedbypracticalexamples．Theprimaryresearchcontentandresultsareobtainedasfollowes：1．Thesmoothdegreeofmodelingdataseriesisoneoftheimportantfactorsthatimpactforecastingprecisionofgreymodel．Thus，onthebasisoftranslationtransformationandstretchingtransformation，thepaperpresentedalinearfunctiontransformationimprovedgreyforecastingmodelwithparametersandprovedthattheimprovedmethodcanincreasethesmoothdegreeofmodelingdataseries．Finally,numericalexampleisgivenandfittedeffectandforecastingprecisionofimprovedmodelisanalysised．2．Inthepaper,onthebasisoflogarithmfunctiontransformationandlinearfunctiontransformationcanincreasethesmoothdegreeofmodelingdataseries，logarithmfunction—linearfunctiontransformationimprovedgreyforecastingmodelwithparametersandlinearfunction—logarithmfunctiontransformationimprovedgreyforecastingmodelwithparametersaregiven．IthasbeenprovedthatthetwotransformationmethodsCanincreasethesmoothdegreeofmodelingdataseries．Thecalculationresultsofpracticalexampleshoweffectivenessofthetwoimprovedmethods．3．ConsideringthatsomepowerfunctiontransformationandlinearfunctiontransformationcanimproveforecastingpresicionofgreymodelbyincreasingthesmoothIII degreeofmodelingdataseries，thepaperpresentedthatpowerfunction-linearfunctiontransfomationimprovedgreyforecastingmodelwithparametersandlinearfunction-powerfhnctiontransformationimprovedgreyforecastingmodelwithparameters·Theproofthatthetwotransf．onnationscanincreasethesmoothofmodelingdataseriesisgiven·Finally，practicalexample，scalculationresultshowthatthetwoimprovedmethodsiseffective．4．Greyforecsatingmodelimprovedbyfunctiontransformationcaninceaseprecisionofshort．tempredictionandnewinformationandequaldimensionalmodelwithsuitabledimensionCallincreasepresicionoflong—termprediction．Thepaperpresentedthatnewinfomationandequaldimensionalgreymodelbasedonpowerfunction-linearfunctiontransfonnationwithparematers．Finally，practicalexampleshowsthattheimprovedmodelisfeasible．Kevwords：Smoothdegree；Functiontransformation；Greyforecastingmodel；Precision；NeWinforillationandequaldimensionalmodelⅣ 独’创性声明秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：’本人所呈交的学位论文是我企人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。．尽我所知，7除特别加以标注和致谢的地方外’’、。论文中不包含其他入的研究成果：j与我二同工作的同志对本文所论述的工作和成果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并邑致谢。本论文及其相关资料若有不实之处，丈：由本人承担一切相关责任．论文作者签名j‘兰趁垒二二五旗年7．剪雄岛学位论文使用授权声明本人至鹾垒。．二：．在导师的指导下创作完成毕业论文p．本人已通过论文的答辩，j并：j已经在西安理工大学申请博士／硕士学位；一本人作为学位论文著作权拥有者，‘同意授杈一西安理工大学拥有学位论文的部分使用权：，即“．．1F色获学位的研究生按学校规定提交印刷版和电子版学位论戈≯学校可以采用影印、一缩印或其他复制手段保存研究垒上交的，学位论文，’可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；0矿为教学和科研目的’，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、j资料室，，等场所或在校园网上供校内师生阅读0、浏览。搴人学位论文全部或部分内容的公布．：<包括刊登)．授权西安理工大学研究生部办：二理o(保密的学位论文在解密后；适用本授权说明)沦文作者签名：主丝i篓一年导师签名}五罐．，。，溯年雩月砂日i 第一章绪论1绪论1．1研究背景及意义最近几十年来，作为探讨事物发展未来状况的预测工作已越来越引起人们的重视。尤其是在当今科学、技术和经济迅猛发展的时代，社会运转速度不断加快和信息量不断膨胀，需要预测的事项越来越多。科学的预测能够正确地向人们展现未来，使人们不再盲目地行动，使人类可以有计划地发展自己。于是人们对预测结果的要求也越来越精确，从而推动了预测技术的不断发展和预测方法的逐渐完善。直到今天，预测科学已经成为一门发展迅速、应用广泛的新学科n1。1．1．1预测理论的背景知识所谓预测，就是根据事物过去发展变动的客观过程和某些规律性，参照当前已经出现和正在出现的各种可能性，运用现代管理的、数学的和统计的方法，对事物未来可能出现的趋势和可能达到的水平所做的一种科学推测。换言之，预测就是运用科学的判断方法或计量方法，对某种事物未来可能演变的情况，事先作出推测的一种技术，是对某种事物的发展、演变规律的认识和分析过程n1。．预测是一种行为，表现为一个过程；同时，它也表现为行为的某种结果。科学的预测一般有以下几种途径：一是因果分析，通过研究事物的形成原因来预测事物未来发展变化的必然结果；二是类比分析，通过类比分析来预测事物的未来发展；三是统计分析，运用一系列数学方法，通过事物过去的和现在的数据资料进行分析，去伪存真，由表及里，揭示出历史数据背后的必然规律性，明确事物的未来发展趋势。总的来说，科学的预测必须以经过实践检验取得实效的预测方法体系为依据。预测常用的方法通常分为定性分析预测法与定量分析预测法两大类。定性分析预测法也称为经验判断预测法。它是指预测者根据历史与现实的观察资料和自己掌握的实际情况，依赖个人或集体的经验与智慧，对事物未来的发展状态和变化趋势做出判断的预测方法。表面看来，定性方法似乎缺乏可信度，但是在掌握的数据不多、不够准确或主要影响因素难以用数字描述，无法进行定量分析时，定性分析预测法就成为唯一可行的方法，而且也可能产生意想不到的良好预测结果。常用的定性分析预测法有市场调查预测法、专家意见法、个人判断法、专家会议法、头脑风暴法、Delphi法、相关类推法、对比类推法、比例类推法等‘1_¨。定量分析预测法是依据调查研究所得的数据资料，运用统计方法和数学模型，近似地揭示预测对象及其影响因素的数量变动关系，建立对应的预测模型，据此对预测目标做出定量测算的预测方法。通常有时间序列分析预测法和因果分析预测法。时间序列分析预测法是以连续性预测原理作指导，利用历史观察值形成的时间数列，对预测目标未来状态和 西安理工大学硕士学位论文发展趋势作出定量判断的预测方法。因果分析预测法是以因果性预测原理作指导，以分析预测目标同其它相关事件及现象之间的因果联系，对市场未来状态和发展趋势作出预测的定量分析方法。和定性预测法相比，定量预测法更加具有说服力，定量预测法的科学性、精确性和可操作性要更强一些。定量预测法的基础是各种数学模型，模型的不同就形成了各种不同的定量预测方法。通常时间序列分析预测法主要有移动平均法、指数平滑法、趋势外推法、季节指数预测法、ARMA模型预测法、马尔科夫预测法等；因果分析预测法主要有回归分析预测法、经济计量模型预测法、投入产出分析预测法、灰色系统模型预测法在譬【I，2，31—口o1．1．2灰色预测理论的背景知识虽然自从人类诞生以来，预测活动就已经存在了，但预测科学真正作为--I'-J学科进行理论研究与应用起源于20世纪60"--'70年代。我国的预测科学与实践起步较晚，但由于后发优势的作用，在直接运用综合方法进行预测方面取得了良好的实际效果。而且，在实践当中，我国的预测工作者还提出了一些崭新的、实用的预测方法体系，发挥了积极的指导作用，取得了举世瞩目的成果。其中，灰色系统预测理论就是由我国学者开创和发展起来的系统科学的崭新分支。我国学者华中科技大学教授邓聚龙先生于1982年创立的灰色系统理论．“1是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。它以“部分信息已知，部分信息未知"的“小样木”、“贫信息’’不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分"已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，去了解、认识现实世界，从而实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效控制¨1。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。灰色系统理论认为对既含有己知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律，通过对原始数据的处理建立灰色模型，发现和掌握系统的发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，灰色系统预测理论所建立的数学模型主要是GM(1，1)模型。它是一个近似的差分微分方程模型，具有微分、差分、指数兼容的性质。它将系统看成一个随时间变化而变化的函数，在建模时，不需要大量数据的支持，也不需要数据服从典型的概率分布就能够取得较好的预测效果，达到较高的拟合和预测精度。灰色预测理论的这些优势，适应了实际研究的需求，将可以预测的对象范围进一步扩大，推进了预测科学的发展。灰色系统理论经过20多年的发展，已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰朦胧集为基础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以狄色序列生成为基础的方法体系，以GM(1，1)模型为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。狄色预测是基于GM(1，1)模型做出的定量预2 第一章绪论测，按照其功能的特征可分为数列预测、区间预测、灾变预测、季节灾变预测、波形预测和系统预测等几种类型心1。1．1．3研究灰色预测的目的与意义灰色预测GM(1，1)模型建模方法对信息不完全的灰色系统建模的关键是：(1)如何处理原始数据序列，提高建模数据序列的光滑度。(2)如何使灰色系统从结构上、模型上、关系上，由灰变白，或使系统的白度增加，即用一个确定的关系代替不确定的灰关系。通过白化，使我们对系统的认识由知之不多到知之较多，再由知之较多到认识其变化规律，最后从变化规律中提取出所需要的信息，使灰色系统问题得以解决。灰色预测GM(1，1)模型已在经济、科教、工农业生产、气象、军事等众多领域中得到了广泛应用‘5’6’。但它毕竟是一门刚刚诞生的学科，理论体系还不完善，在实际应用中，有许多应用成功的例子，同时也有预测偏差过大的情况，预测效果缺乏稳定性，还存在一些有待进一步研究的问题。研究发现GM(1，1)模型实质上是对除去第一点的原始序列做基于最小二乘法的指数拟合，但当用纯指数序列进行拟合时，却又不能完全取得满意的拟合效果，往往产生一些偏差，即它只是个近似模型u1。因此对灰色预测GM(1，1)模型进行改进，提高模型的预测精度具有十分重要的意义。1．2灰色预测模型的研究现状与存在的问题在灰色预测理论研究方面，华中科技大学的邓聚龙教授、南京航空航天大学的刘思峰教授、武汉理工大学的肖新平教授、烟台大学的宋中民教授等做出了很大的贡献。正是因为他们的研究使得灰色预测理论有了参考依据，从而大大促进了灰色预测理论的研究和应用。．灰色预测理论中应用较多的是GM(1，1)模型，以GM(1，1)模型为基础的预测叫做灰色预测。近年来，国内外许多学者对灰色预测模型进行了深入地研究，试图找出影响GM(1，1)模型精度的关键因素，进而提高模型的预测精度。经过不懈地努力，研究者找出了影响GM(1，1)模型精度的一些关键因素，例如模型的初始值、模型的背景值、原始数据序列的光滑度、建模数据序列的灰指数律和级比偏差等，并提出了一些改进灰色预测模型的方法。为了提高灰色模型的预测精度，对灰色预测模型的改进总结起来主要有两个方面：一是对传统的灰色GM(1，1)模型进行修正或改变内部建模机制使之适应原始数据的增长模式；二是对原始数据序列作数据处理，提高数据序列的光滑度，使之适应灰色预测模型的要求。下面分别介绍对灰色预测模型的改进在这二个方面的研究现状，然后说明改进灰色预测模型研究中存在的问题。 西安理工大学硕士学位论文1．2．1改进灰色预测模型的国内外研究现状a．通过修正或改变建模机制改进预测模型(1)对模型初始条件的改进张辉阳1(2001)提出了带修J下项的初值表达式，对GM(1，1)模型的初始条件进行了改进，从而提高了模型的精度；张大海‘91(2002)提出以j(1’仰)=XO)(卅)，m=2,3，⋯，刀作为己知条件，通过模型精度计算结果的比较，选取使预测误差最小的初始值，对原公式进行了修正和拓广，为提高预测精度提供了新的途径；党耀国¨们(2005)提出以X‘1’(甩)为初始条件的GM(1，1)模型；YINYing⋯1(2007)提出改进的灰色模型。(2)对模型背景值的改进谭冠军n2H31(2000)提出了GM(1，1)模型的背景值构造方法：王义闹¨¨(2002)以差商作为次导数白化值提出“一种逐步优化灰导数白化值的GM(1，1)建模方法”，突破了发展系数的绝对值较大时不能用GM(1，1)建模的禁区，提高了建模精度，得到了十分理想的预测模型；王钟羡¨钉(2003)利用在区间上求积分导出了背景值的一个比较确切的计算公式；李俊峰¨钉(2004)基于Newton—Cotes公式提出了GM(1，1)模型的背景值构造的新方法。(3)对模型建模机制的改进吉培荣¨71(2000)研究了传统灰色预测模型的特性，证明了传统灰色预测模型是有偏差的指数模型，并在此基础上提出了无偏灰色预测模型；Songzhongmin‘18f19·舯1相对传统的累加生成提出了反向累加生成的定义，给出了灰色反向累加生成GOM(1，1)模型，为建立灰色预测模型提供了新的生成方法；宋中民‘2¨(2002)给出了灰色平移算子和数据序列函数的概念，并将平移算子与GM(1，1)模型结合提出了灰色系统的分离建模方法；杨保华‘221(2003)相对传统的累加生成提出了倒数累加生成的定义，给出了灰色GRM(1，1)模型，克服了灰色GM(1，1)模型对单调递减原始序列拟合精度不高的缺点；穆勇“31(2003)针对灰色GM(1，1)模型建模方法存在的偏差，提出了GM(1，1)的三种无偏灰微分方程形式，给出了无偏GM(1，1)的直接建模法，提高了建模的精度，扩大了模型的适用范围，充分利用了原始序列的第一个数据的信息；刘斌乜41(2003)在“GM(1，1)模型时间相应函数的最优化”一文中利用“最小二乘法”确定GM(1，1)白化权函数的时间响应函数中的常数C，构建了GM(1，1)的时间响应函数的最优模型；谢乃明‘2钉(2006)给出了2个新的离散灰色模型：始点固定离散灰色模型(SDGM)和终点固定离散灰色模型(EDGM)，提高了灰色预测模型的拟合和预测精度。b．通过对原始序列作数据处理改进预测模型4数据是预测模型研究的基础，没有数据，预测模型就像是无水之源，无本之木。在灰 第一章绪论色系统理论中，GM(1，1)模型最终的拟合方程为指数函数，故对于特定的建模序列，其愈接近指数律，序列变化愈光滑，建模效果就愈好。为了保证预测模型能够获得好的预测效果，众多学者提出了对原始数据进行变换，改善其光滑特性，并由此得到一些改进的灰色预测模型和原始数据变换方法。陈涛捷协1(1990)提出了对数变换，并证明了该变换可以提高原始数据序列的光滑度；李群“”(1993)提出了幂函数变换和对数函数一幂函数变换，并从理论上证明了此两种变换均可以提高原始数据序列的光滑度；黄福勇呦1(1994)提出了改进光滑度的变换函数的构造条件，给出了寻找提高原始数据序列光滑度的变换途径，并在此基础上提出了更多的提高原始数据序列光滑度的变换方法；王建根晒1(1996)对对数变换、幂函数变换、对数函数一幂函数变换在提高原始数据序列光滑度的效果差异情况进行了讨论，结果表明对数函数一幂函数变换的效果最好；李学全‘3们(1997)从理论上分析了改变原始数据序列光滑性的构造条件，并给出了一类既能改进原始数据序列的光滑特性，又能缩小逆变换误差的变换函数，使灰色建模方法得到了很大的拓展；黄少罗‘3¨(1998)认为序列的光滑度是影响模型精度的一个关键因素，提出了两种具有还原误差不作任何扩大的提高原始数据序列光滑度的新的变换方法；陈正平阳玎(1999)提出了一种能同时兼顾原始数据序列的模式及其光滑特性的灰色模型原始数据变换方法——辅助曲线变换方法；李希灿‘331(1999)研究了原始序列乘以不等于零的常数对GM(1，1)模型参数及其预测值的影响，得出了GM(1，1)模型完全适用于负数数据建模的结论；吕林正Ⅲ1(2001)通过对原始数据序列的上下移动变换，有效地提高了模型的拟合精度；何斌“钉(2002)提出对原始离散数据序列进行指数变换，并从理论上证明了该方法比对数函数变换法和幂函数变换法更有效；戴文战哺1(2004)提出了对建模数据序列进行幂函数X1∞>0)变换，理论上证明了这种变换可以有效地提高建模数据序列的光滑度和所建GM(1，1)模型的精度，而且模型精度优于对数变换所建模型；陈洁阳”(2005)提出了“幂函数一指数函数”复合变换，并从理论上证明了该方法比对数函数变换、开方变换、对数函数开方的复合变换、指数函数及指数函数开方的复合变换等已有的提高光滑度的方法更有效；李翠凤瑚1(2005)提出了余切函数变换，并且从理论上证明了离散数据序列经过这种变换后可以大大提高光滑度且比对数变换、幂函数变换、对数函数一幂函数变换更有效；GaoShang”¨(2007)对原始数据乘以非零常数对模型预测精度的影响作了分析与讨论；PingZhou‘柏1(2007)提出了一种新的基于函数变换f(x)=一e。+d的数据处理方法；RongchengLiu“¨(2007)提出了一种基于函数变换f(x)=1／(a—e也)的改进GM(1，1)模型；ZhengFeng“妇(2007)提出了一种基于函数变换y(o’(后)=l“工(o’(后)+c)的改进GM(1，1)模型。1．2．2改进灰色预测模型研究中存在的问题，灰色预测是灰色系统理论的重要组成部分，而GM(1，1)模型又是灰色预测模型的核心和基础。GM(1，1)模型自产生以来受到了高度重视，已经成功应用于众多领域。但GM(1，1)5 西安Nx_L学硕士学位论文模型的本质是通过对原始数据序列的累加生成，发现其指数增长规律，然后用最小二乘法求解模型参数，建立的齐次指数拟合模型，而实际数据累加后不仅仅只满足齐次指数模型增长趋势。另一方面，灰色预测GM(1，1)模型主要集中在单因素的范畴，针对系统的某一特征序列建立预测模型。而现实系统的因素是纷繁复杂的，系统中某一要素的变化发展必然要受到其它要素的影响，故当用GM(1，1)建模预测时，有时不能取得好的预测效果。在用GM(1，1)模型做长期预测时，有时还会出现无法接受的预测结论，甚至出现数据序列预测严重失真的情况，这在一定程度上反映了灰色预测模型的缺陷。针对这一问题，研究灰色预测理论的学者们采用各种各样的方法对灰色预测GM(1，1)模型进行了改进，取得了一些进展，但仍存在如下一些问题。(1)灰色预测GM(1，1)模型对建模数据序列的光滑特性要求较高。只有当原始数据序列具有较好的光滑度时，模型才能获得较满意的拟合精度与预测精度，反之，拟合与预测常常会产生较大的滞后误差。(2)通过改善原始数据序列光滑度进行改进灰色预测模型的研究中，对变化丰富的实际数据通过函数变换建模时，研究者提出了多种变换函数，如对数函数变换、指数函数变换、幂函数变换、三角函数变换以及它们的复合函数变换等，但这些变换都缺乏可调节性，经常会遇到提高模型预测精度的幅度很微小，甚至预测效果和直接用传统GM(1，1)模型差不多的情况。(3)灰色预测GM(1，1)模型具有一定的适用范围。在时间数据序列短、波动较小的条件下，进行短期预测往往能获得较高的预测精度：对中长期预测虽然引入了等维新息模型，但预测效果仍然不理想。所以，如何通过合理的手段和方法改进灰色预测GM(1，1)模型，找到能进一步提高GM(1，1)模型预测精度的方法，找到适应中长期预测的灰色预测改进模型，是摆在我们面前的有待进一步研究的重要课题。1．3本文的主要目的与研究内容通过前面的分析与阐述，可以看到，为了进一步提高GM(1，1)模型的预测精度和适用范围，新的改进灰色预测模型的方法和技术已经成为灰色预测理论中的一个重要的研究课题。本文的主要目的是从现有的改进模型的方法出发，发现已有方法中的不足，以期找到预测效果更好的改进模型的方法，并从理论上对提出的改进方法加以证明，以及从实际例子的预测结果中加以验证，希望能够完善灰色预测模型的改进方法、提高灰色模型的预测精度和扩大灰色预测模型的应用范围。文章的具体研究内容和结构安排如下：第一章，绪论主要介绍了预测及灰色预测的背景知识和发展状况，分析了灰色预测模型的研究现状，然后简单分析了灰色预测理论中存在的问题，进而给出全文的研究内容和6 第一章绪论组织结构。第二章，是对灰色系统建模的一些基础理论的介绍，主要介绍了数据序列光滑性的条件及其判定，提高数据序列光滑度的函数变换方法，GM(1，1)模型的建模方法与步骤以及灰色预测模型精度的检验方法。第三章，主要研究了改进狄色预测模型的含参线性函数变换方法、含参对数函数一线性函数变换方法和含参线性函数一对数函数变换方法。不仅给出了这三种方法均能提高原始数据序列光滑度的理论证明，而且用具体的数值算例验证了这三种方法在提高灰色预测模型精度方面的有效性。第四章，主要研究了改进灰色预测模型的含参幂函数一线性函数变换方法、含参线性函数一幂函数变换方法。不仅给出了这两种方法均能提高原始数据序列光滑度的理论证明，而且用具体的数值算例验证了这两种方法确实能够提高灰色预测模型的预测精度。第五章，主要研究了基于含参幂函数一线性函数变换改进的灰色等维新息模型，并用这种改进的建模方法对我国国内批发与零售业指数进行了中长期预测。第六章，对本文所做的工作进行总结归纳，指出尚待解决的问题。文章的具体逻辑结构如下：图1-1论文结构Figurel一1Paper’Sstructure7 西安理工大学硕士学位论丈1．4小结本章阐述了论文的研究背景与研究意义，简要地介绍了灰色预测理论的发展状况，然后重点介绍了改进灰色预测模型的研究现状与存在的问题，针对研究中存在的问题确定了尝试研究的方向，最后指出了本文的研究目的与研究内容。 第二章灰色预测模型理论基础2灰色预测模型理论基础灰色数据序列是建立灰色预测模型的前提和基础。本章首先介绍建模数据序列的有关概念，然后介绍灰色预测模型的建模原理、步骤及其模型精度的检验方法。2．1数据序列的光滑比光滑连续函数具有处处可导的特性，而序列是由离散的单个点构成的，通常意义下无导数可言，因此不能利用导数来研究序列的光滑性。若某序列具有与光滑连续函数大致相近的特征，便认为此序列是光滑的。在此假设下我们来研究序列的光滑性。定义2．1酶1设数据序列X=(x(1)，x(2)，⋯，工(甩)，x(n+1))，序列Z是序列X的均值生成序列Z=(zO)，z(2)，⋯，z(刀))，其中，z(k)=0．5x(k)+O．5x(k+1)，k=1,2，⋯，以，X’是某一可导函数的代表序列，其中，X’=(x‘(1)，x‘(2)，⋯，X’(以))，将X删去x(n+1)后所得的序列仍记为X，若序列X满足：k—ll。当k充分大时，工(足)<∑x(O百2。g坦誊lx‘(七)一工(尼)l≥琶坦xlz’(尼)一z(尼)llS七S打lS七S一则称X为光滑序列，l。，20称为序列光滑条件。定义2．2Ⅲ设序列x=@(1)，x(2)，⋯，工(刀))，我们称p(尼)=若盟，k=2,3，⋯，玎为序列∑J(f)i=1彳(o’的光滑比。光滑比从另一个侧面反映了序列的光滑性，即用序列中第k个数据工@)与其前七一1个k-I数据之和∑x(f)的比值p(意)来考察序列x中数据变化是否平稳。显然，序列X中数据变f=丁化越平稳，其光滑比夕(七)越小。定义2．3“31设X=(z(1)，x(2)，⋯，z(，1))为非负数据序列，Vs>0，了ko，当k>ko时，如果光滑比尸(尼)：名竺L<占，则称x：b(1)，x(2)，⋯，J∽))为光滑离散序列。∑x(f)定理2．1‘4钉非负数据序列X=O(1)，z(2)，⋯，x(刀))为光滑离散序列的充要条件是：光滑ttp(k)=丢竺L是七的单调递减函数。∑x(f)i=1以上的定义与定理说明了序列光滑性的条件、序列的光滑比、光滑离散序列的定义以及光滑离散序列的充要条件。由于灰色预测GM(1，1)模型最终是一个基于累加生成和最小二乘法的齐次指数增长模型，对增长趋势多样的实际数据其预测模型精度往往较差而不能9 西安理工大学硕士学位论文满足实际要求。为此，许多研究者对提高灰色预测模型精度的方法进行了广泛深入地研究。理论与实践已经证明，模型的精度除与模型的结构有关外，很大程度上取决于原始数据序列的光滑度。原始数据序列的光滑度越高，建立的模型精度就越高；反之，模型的精度就很难达到满意的效果。因此，研究如何通过数据变换提高原始数据序列的光滑度成为提高灰色预测模型精度的重要方法之一。下面简单介绍提高数据序列光滑度的函数变换方法和一些有用的相关结论。2．2提高数据序列光滑比的函数变换方法为了通过提高数据序列的光滑度来提高灰色预测模型的预测精度，文献职6_7’35瑚棚1分别提出了对原始数据序列进行对数函数变换、幂函数变换、指数函数变换以及三角函数变换等提高光滑度的方法，并在实际应用中取得了满意的效果。定理2．2协1若忸‘o’(七)，k=1,2，⋯，n)为非负递增数列，Rx‘∞(1)>e，则lnx‘o’(尼)／工‘o’(尼)∑Inx‘。’(f)∑x∞’(f)i=l此定理表明对数函数变换所得数据序列具有比原始数据序列更好的光滑度。定理2．3。川若扛‘o’(七)，k=1,2，⋯，以}为非负递增数列，且x‘o’(1)≥1，T21，则’【工‘o’(尼)】1∥／x‘o’(尼)‘∑Ix‘。’(f)r∑x‘0’(f)i=li=1此定理表明幂函数变换所得数据序列具有比原始数据序列更好的光滑度。定理2．4‘271若忸‘o’(七)，k=1,2，⋯，甩)为非负递增数列，且石‘o’(1)≥P，T≥1，则[Inx‘o’(训∥，lnx‘o’(尼)∑呻x‘。’(f)严∑lIlx‘。’(f)i=l此定理表明对数函数一幂函数变换所得数据序列的光滑度优于对数函数变换所得数据序列的光滑度。定理2．6脚’若缸‘o’(Ji})，尼=1,2，⋯，订}为非负递增数列，且x‘o’(1)≥P，T≥1，a>1，则有口一5‘。’‘‘’，Inx‘o’(宓)／x‘o’(女)一’、一＼一∑口。‘0啊’∑Inx‘。’(j)∑工‘0’(f)Z-J』一、7‘一、7lO【口一。‘。’‘‘’】V7’／[1nx‘o’(七)】177’一Inx‘o’(七)∑[口一。‘。’‘D】Vr∑[1nx‘。’(f)】VrZh,x‘。’(f)f=li=l[口一J‘。’(‘’】1／r／口一J‘。’‘‘’flnx‘。’(七)∑[口一J‘。’‘‘’】‘77’∑口一J‘。’‘‘’Zlnx‘。’(f) 第二章灰色预测模型理论基础此定理表明经过函数厂=a-xtO’(。’∞>1)变换后所得数据序列的光滑度优于对数函数变换、对数函数一幂函数变换所得数据序列的光滑度。定理2．6聃1若缸‘o’(足)，k=1,2，⋯，n)为非负递增数列，且工‘o’(1)≥e，T≥1，a>0，则有【兰!：!!生21：：<[!呈兰!：：!墨211：一0)具有比变换函数[1nx‘o’(七)】"／和lnz‘o’(尼)更好的光滑度。定理2．7汹1若缸‘o’(尼)，k=1,2，⋯，以)为非负递增数列，且1≤工‘o’(f)≤i7／"，T≥1，则有么cotxlo)(是)，[113X(o)(女)】V7’，lnx‘o’(足)，x‘o’(聂)∑cot工‘。’(f)∑[1nx‘。’(明归∑ln工‘。’(f)∑工‘。’(f)i=li=1iM此定理表明序列经余切函数cotx变换后可以大大提高光滑度且比对数函数变换、对数函数一幂函数变换更有效。2．3GM(1，1)模型的建模原理、方法与步骤灰色系统预测模型是利用较少的表示系统行为特征的原始数据序列作生成变换后对生成数据序列建立微分方程。由于环境对系统的干扰，使原始数据序列呈现离乱状态，离乱数列即为狄色数列，或称灰色过程，对灰色过程建立的模型称为灰色模型。灰色系统模型是揭示系统内部事物连续发展变化过程的模型，所以灰色系统的模型一般用微分方程来描述。其中最典型的是GM(1，1)模型。下面介绍GM(1，1)模型的建模原理、步骤及模型特征。2．3．1GM(1，1)模型的建模原理b1定义2．4设Xt∞为非负序列：X‘o’=(x‘o’(1)，X‘o’(2)，⋯，x‘o’(玎))Xtl’为Xto’的一阶累加生成序列：X‘1’=(工‘1’(1)，X0)(2)，⋯，X0)0))其中X0)(七)=∑工‘o’(f)(尼=1,2，⋯，，1)，称x(o’(七)+伽‘1’(七)=b为cu(1，1)模型的原始形式。百定义2．5设X(们，X(1’如定义2．4所示，Ztl’为X(1’的紧邻均值生成序列：Z‘1’=(z‘1’(2)，z‘1’(3)，⋯，z‘1’(力))其中z‘1’(七)=0．5(x‘1’(尼)+工‘1’(七一1))，k=2，3，⋯，刀，贝0称x‘o’(七)+a2‘1’(七)=b为GM(1，1)模型的基本形式。定理2．8设Xt∞为非负序列：X‘o’=(z‘o’(1)，x(o’(2)，⋯，x‘o’(”)) 西安理工大学硕士学位论文X(1’为X(o’的一阶累加生成序列：X‘1’=(XO)(1)，X‘1’(2)，⋯，工‘1’(玎))其中x(1’(尼)=∑石‘o’(f)(k=1，2，⋯，刀)；Z‘1’为x‘1’的紧邻均值生成序列：iiZ‘1’=(90)(2)，Z0)(3)，⋯，z‘1’(，2))其中z‘1’(尼)=0．5x‘1’(后)+0．5x‘1’(七一1))，k=2，3，⋯，刀。若①=【a，6]r为参数列，．RB=一z‘1’(2)一z‘1’(3)，y=(x‘o’(2)，x‘o’(3)，⋯，X‘o’(，1))r则GM(1，1)模型x‘o’(七)+az‘1’(尼)=b的最小二乘估计参数列满足击=[Br别。1B7’Y。定义2．6设X‘o’为非负序列，X(1’为X(o’的一阶累加生成序列，Z(1’为X(1)的紧邻均值生成序列，(口，6)r=[BrB]。1BrY，则称—dx—O)+ax(1)：6——+”7=D以为GM(1，1)模型x‘o’(尼)+azo)(七)=b的白化方程，也叫影子方程。定理2．9设B，】，，击如定理2．8所述，击=(口，6)r=【B7’B]-lBr】，，则1。白化方程堕兰+甜(1)：6的解(也称时间响应函数)为：‘dt’工m(f)：(工㈣(1)一鱼)P叫+鱼口2。GM(1，1)模型x‘o’(后)+az‘1’(后)=b的解(也称时间响应序列)为：曼(1’(七+1)：(x(。’(1)一b)e-础+b(k：1，2，3，⋯，刀)口3。还原值殳‘。’(七+1)：量‘l’(七+1)一曼(1’(七)：(1-e")(x(。’(1)一b--)ea',k：1,2，⋯，疗2．3．2GM(1．1)模型的建模步骤设有原始数据序列：X‘o’=O‘o’(1)，工‘o’(2)，⋯，z‘o’O))，其中x‘o’(i)>0，f=1,2，⋯，力，利用该数据序列建立GM(1，1)模型的一般步骤是：第一步：对原始数据序列X(o’作一阶累加生成(即l—AGO)，得累加生成序列：X‘1’=(XO)(1)，J‘1’(2)，⋯，J‘1’(，1))，其中x‘1’(1)=石‘o’(1)，x(1’(七)=∑工(o’(f)，(七=2，3，⋯，刀)。百第二步：由一阶累加生成序列X(1’建立GM(1，1)模型，得对应的白化微分方程形式为：盟尘．Fax(t)(f)：b一。Il，=班其中口为发展系数，b为灰色作用量。对应的灰微分方程形式为：12 第二章灰色预测模型理论基础z‘o’(七)+口z‘1’(尼)=b，詹=2，3，⋯第三步：求参数口，b。参数列①=[口，6】r可由最小二乘法确定：①=[BrB]．IB，Y，其中B=一ZO)(2)一ZO)(3)一ZO)(n)1，z(1’(后)=12．[xO)(k)-．I-X(I)(后一1)】，y=(x(。’(2)，x(。’(3)，⋯，x(。’(，z))r。第四步：在初始条件j‘1’(1)=z‘1’(1)=石‘o’(1)下，可得到生成数据序列模型：舅‘l’(七)：(x(。’(1)一罢)P一‘咒时，便可得到灰色模型对未来的预测值。2．3．3GM(1．1)模型的特征．建立在灰色系统理论基础上的灰色预测方法具有原理简单、所需样本少、不需考虑分布规律、计算方便、预测精度高和易于检验等优点，但是灰色预测方法也存在较大缺陷而使得灰色模型一般不宜用于中长期预测，有关文献已经证明了灰色模型参数与模型的适用性间有如下的关系‘441：当一口≤0。3时，GM(1，1)模型可用于中长期预测；当O．3<一口≤O．5时，GM(1，1)模型可用于短期预测，中长期预测慎用；当0．5<一口≤0．8时，用模型作短期预测应十分谨慎；当O．8<一口≤1．0时，应采用残差修正GM(1，1)模型；当一口>1时，不宜采用GM(1，1)模型。由此可见，GM(1，1)模型虽然可以作为长期预测模型，但受到发展系数口的限制，而且真正具有实际意义、精度较高的预测值仅仅是最近的一两个数据，而其他更远的数据则只反映趋势值或称规划值(长期规划性的预测)，不具有很大的参考价值，因此对灰色预测模型做出改进和优化具有重要的意义。2．4灰色预测模型精度的检验模型的精度是模型预测的准确性和实用性的反映。模型选定之后，一定要经过检验才能判定其是否合理，只有经过检验的模型才能用来作预测用。灰色模型的精度检验一般有三种方法：相对误差大小检验法、后验差检验法和关联度检验法，其中，相对误差大小检 西安理工大学硕士学位论文验法是最常用的检验方法。下面简单地介绍一下这三种检验方法。2．4．1相对误差大小检验法相对误差大小检验法，它是一种直观的逐点进行比较的算术检验方法，它是把预测数据与实际数据相比较，观测其相对误差是否满足实际要求。设建模用的实际数据为：X(o)=(x(o’(1)，x(o’(2)，⋯，x‘o’(，1))，按照GM(1，1)建模法求出j(1)=(戈‘1’(1)，曼(1’(2)，⋯，j‘1’(以))，并将j(”做一次累减生成转化为量‘们，即实际数据的模型值为：j‘o’=(曼‘o’(1)，主‘o’(2)，⋯，殳‘o’(，z))。计算残差，得残差序列为：E=(e(1)，P(2)，⋯，P(，1))=X‘∞一j‘o’其中，e(i)=x‘o’(f)一曼‘o’(f)，i=192，⋯，n计算相对误差，得相对误差为：嘶)=篇川。％=等川。％称s(f)=：e【。(mi))x100％为原点误差，称手=丢喜Is(f)I为GM(1，1)模型的平均相对误差；而称P。=(1一万)×100％为GM(1，1)模型的模型精度。一般要求P。>80％，最好是Po>90％。·2．4．2后验差检验后验差检验，属于统计概念，它是按照残差的概率分布进行检验的。设建模用的实际数据为：X(o)=(x(o’(1)，z‘o’(2)，⋯，x‘o’(甩))，按照GM(1，1)建模法求出的实际数据的模型值为：童(o)=(j(o’(1)，量‘o’(2)，⋯，主‘o’(甩))。设实际数据序列X‘o’及残差序列E的方差分别为墨2和S：2，则墨22去善(√∞(f)哥‘0))2，其中，≯∞2{!}善√∞(f)sz22吉善(砸)司2，其中，虿2寺善砸)计算后验差比值为：C=S2／sl计算小误差概率为P=p{IP(f)一虿l<0．6745S1)指标C和P是后验差检验的两个重要指标。指标C越小越好，C越小，表示墨越大而墨越小。S大表示原始数据方差大，原始数据离散程度大。S：小表明残差方差小，残差离散程度小。C小就表明尽管原始数据很离散，而模型所得计算值与实际值之差并不太离散。指标P越大越好，P越大，表明残差与残差平均值之差小于给定值0．6745S。的点较14 第二章灰色预测模型理论基础多，即拟合值(或预测值)分布比较均匀。按C和P两个指标，可综合评定预测模型的精度。模型的精度由后验差和小误差概率共同刻划。一般地，按C和P的大小，可将模型的精度分为“好、合格、勉强、不合格”四级，各类的C和P的值见下表。表2-1模型精度等级Table2-1Therateofmodel’Sprecision模型精度等级均方差比值C小误差概率P一级(好)C≤0．35P≥0．95二级(合格)0．350．65P<0．70于是，模型精度级另1]=Max{P所在的级别，C所在的级别)。如设某GM(1，1)模型，按P，其精度为一级；而按C，其精度为二级，Max{1，2)=2，即该模型的精度为二级。2．4．3关联度检验关联度检验，属于几何检验，它是通过考察模型值曲线与建模用的实际值曲线的相似程度进行检验。一般来说，几何形状越接近，变化趋势也就越接近，关联度就越大。设模型计算出的模型值序列为：j‘o’=(主‘o’(1)，戈‘o’(2)，⋯，量‘o’(刀))，建模用的实际数据为：X(o’=(x‘o’(1)，x‘o’(2)，⋯，X‘o’(以))，以Xto’为参考序列，则岩(o’与Xto’的关联系数为：}曲∽(露)一∥(七)l+o．5懋Ix‘。’(七)一∥(七)I，‘Ix(o’(七)一曼‘o’(七)I+O．5maxI石‘o’(七)一量‘o’(七)I从关联系数的计算来看，我们得到比较序列(即模型值序列)与参考数列(即实际值序列)在各点的关联系数值，结果较多，信息过于分散，不便于比较，因而有必要将各个时刻的关联系数集中体现在一个值上，这一数值就是灰关联度。其计算公式为：善：三窆六刀石这就是模型值序列对实际值序列的关联度。一般要求f>0．6，关联度越大，表明模型的预测效果越好。 西安理工大学硕士学位论文2．5小结本章首先介绍了序列光滑比的定义、光滑离散序列的有关概念，指出了序列光滑性的条件以及序列为光滑离散序列的充要条件；其次列举了提高数据序列光滑度的已有的几种函数变换方法：对数函数变换、幂函数变换、指数函数变换以及三角函数变换；然后给出了灰色预测GM(1，1)模型建模的原理、步骤和特征；最后，简单地介绍了一下灰色预测模型精度检验的三种方法：相对误差大小检验法、后验差检验法和关联度检验法。16 第三章含参线性函数与对数函数变换改进的灰色预测模型及其应用3含参线性函数与对数函数变换改进的灰色预测模型及其应用适当的函数变换能提高建模数据序列的光滑度，光滑度越高所建模型的精度越高。本章首先给出提高建模数据序列光滑度的三种函数变换方法，其次给出这三种方法在改进灰色预测模型实例中的应用。3．1含参线性函数变换改进的灰色预测模型及其应用3．1．1基于含参线性函数变换提高序列光滑度的方法定理3．1若缸‘o’(尼)，k=1,2，⋯，n)为单调递增数列，且x‘o’(1)>0，则{px‘o’(七)+g)(p0，px‘o’(七)+q>O，k=1,2，⋯，以)是非负光滑离散序列。证明由于扛‘o’(七)，k=1,2，⋯，疗)为单调递增数列，且x‘o’(1)>0，故{刀‘o’(七)+q}(P0，px‘o’(七)+q>0，k=1,2，⋯，n)是非负单调递减数列。于是有0O，px+q>O，k=1,29o"玎)是光滑离散序列。定理3．2若缸‘o’(七)，k=1,2，⋯，n)为非负递增数列，{彤‘o’(七)+g，k=1,2，⋯，rt)为非负递减数列，则px(o)(尼)+q，x‘o’(尼)∑[芦‘。’(卅g】∑工‘。’(f)证明由仁‘o’@)，k=1,2，⋯，n)为非负递增数列，有0<工‘o’O)≤x‘o’(尼)(t=1,2，⋯，k一1)由{∥‘o’(尼)+g，k=1,2，⋯，n}为非负递减数列，有0)(1)按传统GM(1，1)模型建模，记为模型(1)量‘o’(1)=石(o’(1)=1296．1殳(o’(豇)=1986．Oeo-∞72(k-I),k=2,3，⋯其中，a=--0．0372，占：1951．5(2)按对数函数变换Y=1Ilb‘o’(足)】建立的改进灰色预测模型，记为模型(2)量(o’(1)=J(o’(1)=1296．1掣(七)：e7,5980e～n。‘’，k：2,3，⋯其中，a=一0．0047，b=7．．5803(3)按幂函数变换Y=[x‘o’(七)】V2建立的改进灰色预测模型，记为模型(3)爻‘o’(1)=x(o’(1)=1296．1j‘o’(七)=[44．6026eo_0184‘‘一1’]2k=2，3，⋯其中，口=一0．0184，b=44．2067(4)按含参线性函数Y=px‘o’(豇)+g变换法(其中，变换函数中的参数为P=-0．1787，q=367．8248)建立的改进灰色预测模型，记为模型(4)爻(o’(1)=石(o’(1)=1296．1j(o’(k)=47．9429eo‘3635(¨’+2058．3，k=2，3，⋯其中，a=-0．3635，占=一18．8084将1996—2003年我国农村居民家庭人均纯收入的实际数据代入上述四个模型进行计算，预测2004—2005年的值，计算结果如表3-1所示：表3一l不同预测模型的相对误差的比较(单位：元)模型(1)模型(2)模型(3)模型(4)年份实际值相对模型值误差模型值误差模型值误差模型值误差(％)．(％)19961926．10．001926．10．001926．10．OO1926．1O．0019972090．1206l-31．382067．31．092064．01．252127．3．1．7819 西安理工大学硕士学位论文19982162．02139．41．052142．9O．882141．4O．952157．50．2119992210．32220．5—0．462221．9．O．522221．6．0．5l2201．00．4220002253．42304．6—2．272304．2．2．252304．9．2．292263．5—0．4520012366．42392．0—1．082390．0．1．OO2391．3—1．052353．5O．5520022475．62482．6一O．282479．4一O．152481．0—0．222482．9．0．2920032622．22576．71．742572．51．902574．01．842669．0．1．78平均相对误差1．18％1．1。％1．16％0．78％由表3—1中的相对误差和平均相对误差值可以看出，本文提出的含参线性函数变换改进的灰色预测建模方法的平均相对误差低于已有的传统GM(1，1)建模法、对数变换GM(1，1)建模法和开方变换GM(1，1)建模法的平均相对误差，这说明本文提出的含参线性函数变换改进的灰色预测模型的拟合效果优于传统GM(1，1)模型、对数变换GM(1，1)模型和开方变换GM(1，1)模型的拟合效果。表3—2不同模型的预测精度的比较(单位：元)模型(1)模型(2)模型(3)模型(4)年份实际值预测预测值精度预测值精度预测值精度预测值精度(％)20042936．42674．491．082668．090．862670．490．942936．799．9920053254．92775．885．282769．185．072770．585．123321．797．95平均预测精度88．18％87．97％88．03％98．97％从表3—2的比较结果可以看出，本文提出的含参线性函数变换改进的灰色预测建模方法的预测精度均高于已有的传统CM(1，1)建模法、对数变换GM(1，1)建模法和开方变换CM(1，1)建模法的预测精度。这说明含参线性函数变换在提高灰色预测模型精度方面是有效的。3．2含参线性函数一对数函数变换改进的灰色预测模型及其应用3．2．1含参线性函数一对数函数变换提高序列光滑度的方法定理3．3若缸‘o’(尼)，k=1,2，⋯，n}为非负递增数列，且x‘o’(1)>0，则{ln[px‘o’(后)+g】)(P0，ln【px‘o’(七)+q】>0，k=1,2，⋯，n)是非负光滑离散序列。证明由于缸‘o’(七)，k=1,2，⋯，栉)为非负递增数列，且石‘o’(1)>e，故{肛‘o’(七)+q}(PO，px‘o’(尼)+g>1，k=1,2，⋯，刀)是非负递减数列，从而{ln[px‘o’(七)+g】}(PO，ln[px‘o’(尼)+q】>O，k=1,2，⋯，n)是非负递减数列。 第三章含参线性函数与对数函数变换改进的灰色预测模型及其应用于是有0O，ln[px‘o’(七)+q】>0，k=1,2，⋯刀)是光滑离散序列。定理3．4若扛‘o’(是)，k=1,2，⋯，n)为非负递增数列，∑ln[px‘。’(f)+g】i=1<丝旦查!±垡一t—l∑[px‘。’(f)+口】i=1E．p<0，px‘o’(是)+q>e，则<竺盟一^一l∑工‘。’(f)i=l证明根据定理3．2，第二个不等式显然成立。下面只需证第一个不等式成立即可。因为扛‘o’@)，k=1,2，·?·，刀}为非负递增数列，P>O,px‘o’(七)+譬>e，由复合函数的单调性知些掣，k：1，2，⋯，刀px‘o)(七)+g’’_’”。为非负递减函数。于是有里珊≤尘鬻，r=·，2，⋯，七一·∥‘o’(七)+g一∥‘o’(f)+gr～’∥’‘即ln[px‘o’(七)+g】[口z‘o’(f)+g】≤[px‘o’(尼)+q]ln[px‘o’(f)+g】，f=1,2，⋯，k一1我们有ln[px‘o’(七)+q][px‘o’(1)+g】≤[px‘o’(七)+q]ln[px‘o’(1)+q】tn[px‘o’(七)+q][px‘o’(2)+q】≤[px‘o’(七)+q]ln[px‘o’(2)+q】ln[px‘o’(七)+g】[px‘o’(后一1)+g]≤【肛‘o’(七)+q]ln[px‘o’(足一1)+q】将上述k一1个不等式相加，得In[px‘。’(豇)+g]∑[px‘。’(f)+g]5[∥‘。’(七)+g】∑1n[刀‘。’(f)+g】整理得2l 西安理工大学硕士学位论文In[px‘o’(尼)+q]ir——————一∑ln[px‘。’(f)+g]f=l<丝旦生!±垡一t—l∑[px‘。’(讣口】所以有ln[px‘o’(足)+q】，px‘o’(尼)+g一工‘o’(七)∑ln[px‘。’(f)+g】∑[彤‘。’(f)+g]∑x‘。’(f)iffili=1由此可见，变换函数ln[∥‘o’(七)+q】具有比z‘o’(尼)更好的光滑度。3．2．2含参线性函数一对数函数变换法建模的思想与步骤a．含参线性函数一对数函数变换法的主要思想以经过函数ln[px‘o’(七)+q]变换后的数据建模再还原得到的模型的平均相对误差昙喜I兰警I最小为目标，用遗传算法中求解反问题的方法编程计算变换函数ln[px‘o’(七)+q]中的参数P，q的值，然后再用变换后的灰色模型进行建模预测。b．含参线性函数一对数函数变换法建模的主要步骤步骤一：先对原始数据序列扛‘o’(七)}按线性函数一对数函数变换Y=ln[肜‘o’(七)+g]生成新的数据序列{ln[px‘o’(尼)+g】)，记作{y‘o’(七))(k=1,2，⋯，刀)。步骤二：应用传统GM(1，1)模型对新的数据序列抄‘o’(七))(k=1,2，⋯，n)进行建模计算，得到变换后新数据序列的预测公式夕‘o’(1)=y‘o’(1)=ln[px‘o’(1)+q】￡夕‘o’(尼)=(1一P6)(y‘o’(1)一昙)P一6‘‘。1’，k=2，3，⋯口步骤三：根据逆变换函数量‘o’(七)=【∥印’‘¨一q]／p，新数据序列钞‘o’(七)}的预测公式能被还原成曼‘o’(1)=x‘o’(1)批七)：[P‘h6心以㈣一矽n。1’一g№k：1，2，⋯于是便得到了含参线性函数一对数函数变换改进的灰色模型的预测公式。3．2．3含参线性函数一对数函数变换建模法在上海市居民户数预测中的应用依据文献【401提供的数据，对上海市1988—1999的居民户数(数据见表1)进行统计建模，预测2000年和2001年的值，并比较几种不同模型的拟合精度和预测精度。(数据来源于中华人民共和国国家统计局编《中国统计年鉴---2002)))。(1)按传统GM(1，1)模型建模，记为模型(1) 第三章含参线}生函数与对数函数变换改进的灰色预测模型及其应用曼(o’(1)=x(o’(1)=394．95j‘o’(七)=406．3265e0．0141(‘一n，k=2，3，⋯·其中，a=一0．0141，b=403．6290(2)按对数函数变换Y=ln[x(o’(尼)】建立的改进灰色预测模型，记为模型(2)曼(o’(1)=x(o’(1)=394．95主(o诹)：矿渊一蚴‘卜”，k：2，3，⋯其中，口=一0．0023，b=5．9997(3)按含参线性函数Y=px‘o’(七)+g变换法(其中，变换函数中的参数为P=一O．9532．q=492．1036)建立的改进灰色预测模型，记为模型(3)曼e，则{pinx‘o’(七)+q)(P<0，q>O，pInx‘o)(七)+g>0，k=1,2，⋯，咒)是非负光滑离散序列。证明由于缸‘o’(足)，k=1,2，⋯，力)为非负递增数列，且x‘o’(1)>e，故{pInx(o)(尼)+q)(P0，pInx(o)(尼)+q>0，k=1,2，⋯，刀)是非负递减数列。于是有0o，plnxco)(后)+q>0，k=1,2，⋯n)是光滑离 第三章含参缌陛函数与对数函数变换改进的灰色预测模型及其应用散序列。定理3．6若扛‘o’(七)，k=1,2，⋯，，1)为非负递增数列，{pInx0)(七)+g，k=1,2，⋯，n}为非负递减数列，且x‘o’(1)>e，则e，知{lnx‘o’(尼)，k=1,2，⋯，／I}也为非负递增数列，有01，且口>1，则{[px‘o’(尼)+q]4}(P<0，px‘o’(七)+g>O，k=1,2，⋯，咒)是非负光滑离散序列。证明由于缸‘o’(尼)，k=1,2，⋯，聆)为非负递增数列，x‘o’(1)>l，且p1，故{【乃‘o’(七)+g】4)(pO，k=1,2，⋯，以)是非负递减数列。于是有．0<[px‘o’(尼+1)+g】4<[px‘o?(七)+g】40<∑[肛‘。’(f)+g】4<∑[刀‘。’(f)+g】4将上述两个同向不等式相乘，得【弘‘。’(七+1)+q】8∑[∥‘。’(f)+打<[∥‘。’(尼)+垡]4∑【∥‘。’(f)+g】4i=l所以有[乃‘o’(女+1)+g】4■r——————一∑[px‘。’(f)+盯i=l<挈盟∑[px‘。’(f)+盯由定理2．1可知，{[px‘o’(后)+g】4}(P1，芦‘o’(尼)+g>O，七=1,2，⋯，以)是光滑离散序列。定理4．2若缸‘o’(女)，k=1,2，⋯，玎}为非负递增数列，[px‘o’(尼)+g】。i广—————一∑[px‘。’(f)+盯i=l证明根据定理3．2，<丝旦生!±垡一t一1∑[px‘。’(1)+g】扛l不等式i竿!组∑【∥‘。’(f)+g】x‘o’(1)>1，且口>1，P<0，贝lJ<竺塑一k—l∑工∞’(f)f=l≤磐成立。下面只需证明不等式∑x门’(f) 西安理工大学硕士学位论文[px‘o’(七)+打ir—————一∑[px‘。’(f)+盯<丝里生2±垡一k-1∑[∥‘。’(f)+g】，=l成立即可。因为缸‘o’(七)，k=1,2，⋯，刀)为非负递增数列，x‘o’(1)>1，且P<0，所以{px∞’(七)+g，k=1,2，⋯，n)为非负递减数列。钢√o)(功=船和㈣∽计W-1'2’⋯∽，贝IJ当口>1时，秽m))为增函数，于是有下面的结论成立：器≤篇pxo=·，2，⋯，七一-，[肛‘o忉+盯一【‘o’(七)+g]Ⅱr’1”’V变形整理得【px‘o’(f)+q][px‘o’(Ji})+g】4≤[px‘o’(七)+q][px‘o’(f)+g】4(f=1,2，⋯，k-1)我们有[px(o)(1)+q][px‘o’(尼)+g】4≤[px‘o’(七)+q][px‘o’(1)+口]4[px‘o’(2)+q][px‘o’(七)+g】4≤[px‘o’(七)+q][px‘o’(2)+g】4i【px‘o’(尼一1)+q][px‘o’(尼)+口】4≤[px∞’(尼)+q][px‘o’(七-1)+g]4将上述k一1个式子相加得’[px‘。’(七)+gr∑[px‘。’(f)+g]<[∥‘。’(七)+g】∑[px‘。’(f)+g】4变形即可得到根据定理3．2，有[px‘o’(尼)+g】4i广—————一∑[px‘。’(f)+盯f=l<丝墨生!±垡一k一1∑[px‘。’(f)+g】iffil坐旦查!±垡<竺盟★一l—I—l∑[Ⅳ‘。’(f)+口]∑x‘。’(f)f=liffil从而有[∥‘o’(七)+g]4i丁—————一<丝旦垄!±垡一I—l<盟一★一1∑[∥‘。’(f)+盯∑[∥‘。’(f)+g】∑石‘。’(f)iffiii=li=1该定理说明了变换函数[∥‘o’(七)q-g】4比x‘o’(七)具有更好的光滑度。4．1．2含参线性函数一幂函数变换法建模的思想和步骤a．含参线性函数一幂函数变换法的主要思想30以经过函数[px‘o’(尼)+g】4变换后的数据建模再还原得到的模型的平均相对误差 第四章含参线性函数与幂函数变换改进的灰色预测模型及其应用去喜I星紫I最小为目标，用遗传算法中求解反问题的方法编程计算变换函数[∥(o’@)+g】4中的参数p，g的值(在计算过程中，可以根据需要调整参数p，q的搜索范围和遗传算法中的控制参数)，然后便可用变换后的灰色模型进行建模预测。b．含参线性函数一幂函数变换法建模的主要步骤步骤一：先对原始数据序列扛‘o’(尼))按线性函数一幂函数变换Y=[px‘o’(尼)+g]4生成新的数据序列{[∥‘o’(尼)+g】口}，记作钞‘o’(尼)}(k=1,29··19，1)。步骤二：应用传统GM(1，1)模型对新的数据序列秒‘o’(七))(k=1,2，⋯，，1)进行建模计算，得到变换后新数据序列的预测公式夕‘o’(1)=yql)=【px‘o’(1)+g】拉夕‘o’(后)=(1一P6)(y‘o’(1)一要)P一6‘‘q’，k=2,3，⋯口步骤三：根据逆变换函数曼‘o’(七)=[(夕‘o’(七))l／口一q]／P，新数据序列抄‘o’(七))的预测公式能被还原成曼‘o’(1)=工‘o’(1)￡爻‘o’(后)=[(1一P6)((芦‘o’(1)+g)4一昙)P一。‘‘‘1’一g】V。／p，后=2,3，⋯口于是便得到了含参线性函数一幂函数变换改进的灰色模型的预测公式。4．1．3含参线性函数一幂函数变换建模法在我国市均医院卫生技术人员数预测中的应用市均医院卫生技术人员数是衡量一个国家医疗卫生事业发展水平的一个重要指标。建立我国市均医院卫生技术人员数的灰色模型，并预测其未来发展趋势，对我国合理安排医院卫生技术人员数具有重要的指导意义。下面用几种建模方法对1990—1999年我国市均医院卫生技术人员数建模(数据见表4-1)，预测2000—2001年的市均医院卫生技术人员数。(数据来源于《中国统计年鉴一2002》)(1)按传统GM(1，1)模型建模，记为模型(1)宝(o’(1)=工(o’(1)=63．4量(o’(尼)=64．9949eo·0367(‘一n，七=2，3，⋯其中，a=一O．0361，b=63．8681(2)按含参线性函数～幂函数Y=【∥‘o’(七)+g】筇2变换法(其中，变换函数中的参数为P=一0．6584，g=85．7206)建立的改进灰色预测模型，记为模型(2)曼‘o’(1)=x(o’(1)=63．4量‘o’(七)=[(298．6578e加。0845‘‘一1’)纠3—85．7206]／(-0．6584)，k=2，3，⋯其中，口=0．0845，b=310．8612 西安理工大学硕士学位论文(3)按含参线性函数一幂函数Y=[px‘o’(七)+g]2变换法(其中，变换函数中的参数为P：一O．9910。q=128．4266)建立的改进灰色预测模型，记为模型(3)曼(o’(1)=x(o’(1)=63．4曼(o’(后)=[(4441．Oe。0’1138‘‘一1’)啦～128．4266]／(一0．9910)，k=2，3，⋯其中，a=O．1138，b=4682．8(4)按含参线性函数一幂函数Y=[px‘o’(七)+g]5／2变换法(其中，变换函数中的参数为P=一O．7200，q=92．0660)建立的改进灰色预测模型，记为模型(4)j(o’(1)=工(o’(1)=63．4是‘o’(尼)=[(15284e-0．1466(k-1))2／5—92．0660]／(一0．7200)，k=2，3，⋯其中，a=0．1466，b=16343表4—1不同预测模型的相对误差的比较(单位：万人)Table4·1Comparisonofrelativeerrorofdifferentforecastingmodels(unit：10000people)年序实际模型(1)模型(2)模型(3)模型(4)模型相对模型相对模型相对模型相对份号值误差值误差值误差值误差1990163．40．00％63．40．00％63．40O．OO％63．400．00％1991266．667．43．1．25％66．06O．81％66．07O．80％66．08O．78％1992369．569．95—0．65％．69．57—0．10％69．58—0．12％69．60一O．14％1993471．572．56．1．48％72．89—1．94％72．90．1．96％72．92一1．99％1994576．275．281．21％76．03O．22％76．040．21％76．050．20％1995679．078．091．15％79．000．00％79．000．00％79．000．00％1996782．381．0l1．57％81．810．60％81．800．6l％81．790．62％1997885．384．041．48％84．460．98％84．441．01％84．411．04％1998987．087．18．0．21％86．96O．05％86．940．07％86．880．14％19991088．690．44．2．08％89_33一O．82％89．30一0．79％89．22—0．70％平均相对误差1．23％0．61％0．62％由表4—1中的相对误差和平均相对误差的值可以看出，本文提出的含参线性函数一幂函数变换改进的灰色预测建模方法的平均相对误差低于已有的传统GM(1，1)建模法的平均相对误差，这说明本文提出的含参线性函数一幂函数变换改进的灰色预测模型的拟合效果优于传统GM(1，1)模型的拟合效果。32表4-2不同预测方法的预测值和预测精度的比较(单位：万人)Table4-2Comparisonofforecastingprecisionofdifferentforecastingmodels(unit：10000people)年序实际模型(1)模型(2)模型(3)模型(4)份口值预测丐值精度值精度值精度值精度2000ll89．893．8l95．53％91．5698．04％91．5398．07％91．4298．20％200l1291．897．3293．99％93．6897．95％93．6398．01％93．4998．16％平均顶测精度94．76％97．99％98．04％98．18％ 第四章含参线性函数与幂函数变换改进的灰色预测模型及其应用从表4-2的比较结果可以看出，本文提出的含参线性函数一幂函数变换改进的灰色预测建模方法的预测精度均高于传统GM(I，1)建模法。4．2含参幂函数一线性函数变换改进的灰色预测模型及其应用4．2．1含参幂函数一线性函数变换提高序列光滑度的方法定理4．3若扛‘o’(足)，k=1,2，⋯，it／)为非负递增数列，工(o’(1)>1，RoO，p[x‘o’(七)】4-t-q>O，k=1,2，⋯，n)是非负光滑离散序列。证明由于扛‘o’@)，Jj}=1,2，⋯，拧)为非负递增数列，石(o’(1)>1，且OO，p[x‘o’(后)】。+g>O，k=1,2，⋯，刀)是非负递减数列。于是有00，烈z‘o’(尼)r+q>O，k=1,2，⋯，，1)是光滑离散序列。定理4．4若缸‘o’(尼)，七=1,2，⋯，n}为非负递增数列，<鬯坠塑：一^一1石‘o’(1)>1，且01，且0O)变换的GM(1，1)模型及在我国农村人均住房面积建模中的应用[J]．系统工程理论与实践，2004，24(11)：63—67．【37】陈洁，许长新．灰色预测模型的改进[J]．辽宁师范大学学报(自然科学版)，2005，28(3)：262—264．[381李翠凤，戴文战．基于函数cotx变换的灰色建模方法[J]．系统工程，2005，23(3)：110—114．【39】GaoShang．ImprovementofGM(1，1)Model[C]．Proceedingsof2007IEEEInternationalConferenceonGreySystemsandIntelligentServices，Nanjin，2007：375—379．[401PingZhou，Yongw“TheDataProcessingMethodBasedOnaKindofNewGM(1，1)Model【C】．Proceedingsof2007IEEEInternationalConferenceonGreySystemsandIntelligentServices，Nanjin，2007：380—384．[41】RongchengLiu，AipingYang，WenzhanDai．GM(1，1)ModelbasedontheTransformati-onofFunctionffx)[c]．Proceedingsof2007IEEEInternationalConferenceonGreySystemsandIntelligentServices，Nanjin，2007：440_444．【42】ZhengFeng，WeiYong．ImprovedModelingMethodofCountdownTransformation[C]．Proceedings45 西安理工大学硕士学位论文【43】【44】【45】【46】【47】【48]【49】【50】【51】【52】【53】【54]【55】【56】【57】【58】【59】【601of2007IEEEInternationalConferenceonGreySystemsandIntelligentServices，Nanjin，2007：519．523．陈秋妹．数据光滑度改进与灰色关联研究[D]．杭州：浙江工商大学，2006：34—36．刘思峰，邓聚龙．GM(1，1)模型的适用范围[J]．系统工程理论与实践，2000，20(5)：121—124．张军，王秋萍，周杰，曾涛，禹海青．一种提高灰色模型拟合精度的简便方法[J]．西南民族大学学报(自然科学版)，2007，33(5)：1070．1074．李翠风．灰色系统建模理论及应用[D]．杭州：浙江工商大学，2006：34—36．QiupingWang，JanZhang．TheNewMethodsofImprovingSmoothDegreeofModelingDataSeries[C]．The2007InternationalConferenceonIntelligentSystemsandKnowledgeEngmeefing(ISKE2007)，Chengdou，2007：1623·1629．QiumeiChenandWenzhanDai．TheGeneralMethodofImprovingSmoothDegreeofDataSeries[C]．InternationalConferenceonIntelligentComputing(ICIC2005)，Hefei，2005：505—513．CaimeiLu，YonghongHao，XuemengWang．WoddPopulationarojectionsUsingMetabolicGM(1，1)Model[C]．Proceedingsof2007IEEEInternationalConferenceonGreySystemsandIntelligentServices，Nanjin，2007：453-457．XipingWang．GreyPredictionwithRollingMechanismforElectricityDemandForecastingofShanghai[C]．Proceedingsof2007IEEEInternationalConferenceonGreySystemsandIntelligentServices，Nanjin，2007：689-692．TaoChen，SenfaChen，JinfengZhu．ResearchonPublicTrafficControlofMulti—agentsSystemBasedonGreyDisasterPredication[C]．Proceedingsof2007IEEEInternationalConferenceonGreySystemsandIntelligentServices，Nanjin，2007：701—706．肖俊．基于粒子群算法的GM(1，1)模型及其应用[D]．武汉：华中科技大学，2005：19—20．冯福旺．灰色理论在中长期负荷预测中的应用[D]．太原：太原理工大学，2005：53—54．张友泉．一种基于灰色系统理论的中长期需电量预测模型[J]．电网技术，1999，23(8)：47—50．王成山，杨军，张崇见．灰色系统理论在城市年用电量预测中的应用[J]．电网技术，1999，33(2)：15-18．拜存有，冯旭，张升堂，李德君．灰色等维新息模型在灌溉用水量预测中的应用研究[J]．西北农林科技大学学报(自然科学版)，2004，32(9)：115—118．郭学军，王水．国民经济第三产业发展预测的等维新息模型[J]．数学的实践与认识，2005，35(4)：6-9．肖新平，宋中民，李峰著．灰技术基础及其应用[M]．北京：科学出版社．2005．王小平，曹立明．遗传算法[M]．西安：西安交通大学出版社，2002．王沫然．MATLAB与科学计算[M]．北京：电子工业出版社(第二版)，2005． 作者在攻读硕士学位期间发表的学术论文及其奖励作者在攻读硕士学位期间发表的学术论文及其奖励：发表的学术论文：1．QiupingWang，JunZhang．TheNewMethodsofImprovingSmoothDegreeofModelingDataSeries．The2007InternationalConferenceonIntelligentSystemsandKnowledgeEngineering(ISKE2007)，2007：1623—1629．(SCI、EI、ISTP检索源)．2．张军，王秋萍，曾涛等．一种提高灰色模型拟合精度的简便方法[J]．西南民族大学学报(自然科学版)，2007，33(5)：1070-1074．3．张军，王秋萍，刘素兵．基于函数变换的优化灰色预测模型及其应用[J]．青岛科技大学学报(自然科学版)．(已录用，2008，2发表)4．王秋萍，刘素兵，张军．基于IOWGA的组合模型在城镇居民收入中的研究[J]．西安工业大学学报，2007，27(5)：495—499．5．王秋萍，刘素兵，王晓峰，张军，曾涛．图书出版量的优化组合预测模型及其应用[J]．计算机工程与应用．(已录用，2008，10发表)6．陈战波，张德生，韩有旺，张军．城市日用水量预测的非参数模型[J]．青岛科技大学学报(自然科学版)，2007，28(1)：65—68．奖励：2006．9--2007．7学年获三等奖学金．47