隐函数与参数方程的导数(I)

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1、一、隐函数求导法二、由参数方程所确定的函数的导数§3.2.5隐函数及由参数方程确定的函数的导数上页下页铃结束返回首页一、隐函数的导数显函数与隐函数下页(1)显函数:我们把函数y可由自变量x的解析式称为显函数.也可以确定一个函数,因为当来表示的这种函数,例如ysinxylnxex都是显函数若变量y与x之间的函数关系是由某一个方程0),(=yxF所确定,那么这种函数称为由方程0),(=yxF所确定的隐函数.(2)隐函数:把一个隐函数化为显函数,称为隐函数的显化注意:并不是所有的隐函数都可化为显函数.如方程0=+

2、-yxeexy所确定的隐函数就不能显化。隐函数求导法,就是不管隐函数能否显化,直x接在方程0),(=yxF的两端对求导,由此得到隐函数的导数，若y是由0),(=yxF所确定的函数,将方程两边对x求导,但要把y看成中间变量,应用复合函数求导法则进行求导。隐函数的求导法提示:例1求由方程y22xy90所确定的隐函数y的导数2yy2y2xy0即(yx)yy隐函数求导举例方程中每一项对x求导得解(xy)y+xy.(y2)2yy,下页从而例2求由方程y52yx3x70所确定的隐函

3、数yf(x)在x0处的导数y

4、x0因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60把方程两边分别对x求导数得解法一下页5y4y2y121x60根据原方程当x0时y0将其代入上述方程得2y10从而y

5、x0，y005把方程两边分别对x求导数得解法二下页例2求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y

6、x0例3解解得解下页例4求曲线在点处的切线方程和法线方程方程两边求导数得于是在点处y1所求

7、切线方程为即所求法线方程为即xy002)1(22=++xyx解yyxarctan)2(+=解练习求由下列方程所确定的隐函数的导数yf(x)[lnf(x)]对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)两边对x求导得对数求导法下页例1求yxsinx(x>0)的导数解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.解法一上式两边对x求导得两边取对

8、数得lnysinxlnxyxsinxesinx·lnx下页例2已知函数解等式两边取自然对数得求y¢xxylnln=得化简得练习解等式两边取自然对数得(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题。解等式两边取自然对数：例3上式两边对x求导得说明严格来说本题应分x4x12x3三种情况讨论但结果都是一样的例4求函数)4)(3()2)(1(----=xxxxy的导数.先在两边取对数得+---xlny21=[ln(x1)ln(x2)-ln(x3)-ln(-4)],解首页等式两边取

9、对数得解练习二、由参数方程所确定的函数的导数设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)]若xj(t)和yy(t)都可导则下页解由参数方程的求导方法,得一阶导数或tdxdycot-=例1求由参数方程所确定函数的导数例2求摆线îíì-=-=)cos1()sin(tayttax在2p=t处的切线方程和法线方程解由参数方程的求导方法,得摆线上点当时,处切线斜率为切线方程为法线方程为练习1.求下列参数方程所确定的函数的导数解当时,处切线斜率切线方程为法线方程

10、为小结一、隐函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法参数方程，