隐函数与参量函数微分法(III)

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1、隐函数与参量函数微分法一、隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.两边对x求导，当遇到y的函数f(y)时将求出的这些导数代入得到关于的代数方程，至于隐函数求二阶导数，与上同理例1解解得例2解所求切线方程为显然通过原点.例3解补证反函数的求导法则由隐函数的微分法则例11试从导出①②解①②试从导出例4解例5求证抛物线上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于a证故曲线上任一点处切线的斜率为切线方程为故在两坐标轴上的截距之和为二、对数求导法有时会遇到这样的情形，即虽然给出

2、的是显函数但直接求导有困难或很麻烦观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。--------对数求导法适用范围:例6解等式两边取对数得例7解这函数的定义域两边取对数得两边对x求导得两边取对数得两边对x求导得同理例8解两边取对数得两边对x求导得例9解两边取对数得两边对x求导得例10解等式两边取对数得一般地三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?——参量函数由复合函数及反函数的求导法则得容易漏掉例11解所求切线方程为例12证例13设曲线Γ由极坐标方程

3、r=r(θ)所确定，试求该曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线上点处的切线的直角坐标方程解由极坐标和直角坐标的变换关系知切线斜率为故切线的直角坐标方程为例14解四、相关变化率相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例15解4000m水面上升之速率五、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.思考题思考题解答不对．