§2.4隐函数与参量函数微分法1.ppt

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1、§2.4隐函数与参量函数微分法一、隐函数的导数定义:由方程F(x,y)=0所确定的函数y=y(x)称为隐函数.y=f(x)形式的函数称为显函数.如果从F(x,y)=0中解得y=f(x),称为隐函数的显化.问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?例1:求由方程xy–ex+ey=0所确定的隐函数y=y(x)的导数及其在x=0处的值,即例2:设x4–xy+y4=1,求y在点(0,1)处的值.例3:再证反函数的求导法则设x=(y)为直接函数,y=f(x)为其反函数,y=f(x)可视为由方程x–(y)

2、=0确定的一个隐函数.由隐函数求导法则,在方程x=(y)两边对x求导,得即二、对数求导法方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算.——对数求导法适用范围:1、多个简单函数积商,乘方,开方的情形2、幂指函数u(x)v(x)的情形.例5:例6:例4：练习:一般地,对幂指函数f(x)=u(x)v(x)(u(x)>0)的情形:等式两边取对数,得lnf(x)=v(x)lnu(x).两边对x求导得三、由参数方程所确定的函数的导数若参数方程则称y=y(x

3、)为由参数方程确定的函数.确定y与x间的函数关系,消去参数,得:例如:由得——参量函数y=[-1(x)]问题:消参困难或无法消参如何求导?连续的反函数t=-1(x),在参数方程中,设函数x=(t)具有单调则再设函数x=(t),y=(t)都可导,且(t)0,由复合函数及反函数的求导法则得:容易漏掉若设函数x=(t),y=(t)都二阶可导,且(t)0,则例11:求摆线处的切线方程.例12:例13(书后练习):四、相关变化率设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,而变量x与

4、y之间在一定的关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率.存在某种关系,从而它们的变化率之间也存相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?解:设时刻t水深为h(t),水库内水量为V(t),则4000m上式两边对t求导得水面上升之速率例14:河水以8米3/秒的流量流入水库中,水库形状是长为4000米,顶角为120的水槽,问水深20米时,水面每小时上升几米?(1)会隐函数求导法注意：y的函数的求导例15:设函数y=y(x)由方程ey+xy=e所确定,求(2)会对数求导法(3)会参数

5、方程求导法注意：适用的范围注意：不要漏乘例16:课下练习确定函数求设由方程五、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程(函数)两边取对数,经适当运算后,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用了复合函数的求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.思考题设,由可知:对吗？思考题解答不对.求.解:方法1方法2等式两边同时对求导1.设思考与练习,求解：2.设方程组两边同时对t求导,得3.设求提示:分别用对数微分

6、法求答案:4.两边取对数两边对x求导