随机信号的频域分析

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1、第三章随机信号的频域分析使用班级：09050641,0905064209050941,09050942第三章随机信号的频域分析3.1实随机过程的功率谱密度（3）3.2两个实随机过程的互功率谱密度（17）3.3白噪声（22）3.1实随机过程的功率谱密度3.1.1确知信号的频谱和能量谱密度（1）狄里赫利设信号s(t)为时间t的非周期实函数，满足如下条件：,即s(t)绝对可积；s(t)在内只有有限个第一类间断点和有限个极值点。（2）频谱密度s(t)的傅立叶变换又称为频谱密度，也简称为频谱。信号s(t)可以用频谱的傅立叶反变换来表示（3）能

2、量谱密度信号s(t)的总能量为根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。能谱密度存在的条件是即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。3.1.2实随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。经推导可得为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。（1）定义通过截取样本函数-T到T的一段，傅立叶变换得具有随机性根据能量守恒，总能量：时间平均能量:注：平均功率包含了集合平均和时间平均的双重含义统计平均能量:平均功率：随机过程的平

3、均功率为对于平稳随机过程，其平均功率为若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即性质1：非负实函数（2）实随机过程功率谱密度的性质性质2：偶函数性质3：平稳过程功率谱密度绝对可积性质4：若平稳过程的功率谱密度可以表示为的有理函数形式则必定满足：①②式中分母无实根(即在实轴上无极点),且。（1）维纳－辛钦定理它成立的条件是绝对可积，即3.1.3功率谱密度与自相关函数之间的关系对于实平稳随机过程，利用其自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳－辛钦定理表示成：物理功率谱例3.2：已知广义平稳过程的自相关函

4、数为求过程的功率谱密度。解：例3.3：设X(t)为随机相位随机过程其中a，为实常数；为随机相位，在均匀分布。可以推倒导出X（t）是广义平稳过程，其自相关函数为：求X(t)的功率谱密度解：例3.4：已知平稳过程X(t)，具有功率谱密度为求该过程的自相关函数和均方值。解：例：设平稳随机过程，其中a为常数，Φ是服从[0，2π]的均匀分布的随机变量，Ω是具有分布密度为偶函数的随机变量，且Φ与Ω相互独立，试证的功率谱密度为返回傅里叶变换对（1）互谱密度的定义称为两个联合平稳随机过程X(t)和Y(t)的互功率谱密度，简称互谱密度。3.2两个实随

5、机过程的互功率谱密度（2）互谱密度与互相关函数的关系（3）实随机过程互谱密度的性质性质1：性质2：互谱密度的实部是偶函数，虚部是奇函数。性质3：如果X(t),Y(t)互相正交，互谱密度为零。性质4：若X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过程，且数学期望不为零，则有性质5：互谱密度的幅度平方满足例3.5：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为：求互相关函数和解：返回3.3白噪声（1）噪声的定义信息在传输过程中，不可避免地要受到各种干扰，使信号产生误差。误差的来源信号传输处理过程中串入了其它信号信息传输处理时，信道或

6、设备不理想造成广义地说，称这些使信号产生失真的误差源为噪声。来自外部的噪声也称为干扰。3.3.1噪声（2）噪声的分类从噪声与电子系统的关系来看：内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声根据噪声的分布：高斯噪声：具有高斯分布的噪声均匀噪声：具有均匀分布的噪声从功率谱的角度来看：白噪声：随机过程的功率谱为常数（无论是什么分布）。色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。（1）定义一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即的平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。（2）白噪声的自相关函数3

7、.3.2理想白噪声（3）白噪声的相关系数这说明，白噪声在任何两个相邻时刻，不管多么近，只要≠0，状态之间都是不相关的；白噪声过程的样本随时间起伏极快，相当脉冲宽为0的冲激(t)。白噪声是一个理想化的数学模型。在物理上是不存在的。任何一个物理可实现过程，两个相邻时刻的状态之间总存在一定的相关性。无法构造出脉冲宽为0的冲激(t)做为样本。平均功率无穷大任何一个物理可实现过程，其平均功率总是有限的（4）白噪声的特点数学上有很好的分析性质是大多数噪声的模型白噪声可以替代系统中的宽带噪声在实际应用中，系统带宽总是有限的，无论是否是理想白

8、噪声，通过系统后的结果都一样。只要输入噪声功率谱在观察的范围（系统带宽）内是一常数，就可以把它近似为白噪声来处理。高斯白噪声在任意两个时刻是相互独立的，且具有各态历经性若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，