重积分及其计算(II)

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1、三重积分及其计算一、三重积分的概念将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义8/12/202118/12/20212其中dv称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积若函数在闭区域上连续，则一定可积由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分的物理背景以f(x,y,z)为体密度的空间物体的质量下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。8/12/20213二、在直角坐标系中的计算法如果我们用三族平面x=常数，y=常数,z=常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体其体积为故在直角坐标系下的面积元为

2、三重积分可写成和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算具体可分为先单后重和先重后单8/12/20214①先单后重8/12/20215——也称为先一后二，切条法（先z次y后x）注意用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。8/12/20216化三次积分的步骤⑴投影，得平面区域⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法例1将化成三次积分其中为长方体，各边界面平行于坐标面解将投影到xoy面得D，它是一个矩形在D内任意固定一点（x,y)作平行于z轴的直线交边界曲面于两点，其竖坐标为l和m（l

3、abcdD。(x,y)例2计算其中是三个坐标面与平面x+y+z=1所围成的区域8/12/20218Dxyzo解画出区域D8/12/20219解8/12/2021108/12/2021118/12/202112除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分若f(x,y,z)在上连续介于两平行平面z=c1,z=c2(c1

4、如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算尤其当f(x,y,z)与x,y无关时8/12/2021148/12/202115例5计算解故8/12/202116例6解一解二先单后重将投影到xoy面得D先重后单8/12/202117（用极坐标，用对称性）此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法8/12/202118三、小结三重积分的定义和计算（计算时将三重积分化为三次积分）在直角坐标系下的体积元素8/12/202119思考题选择题:8/12/202120练习题8/12/2021218/12/2021228/12/2021

5、23练习题答案8/12/2021248/12/202125