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1、第十章曲线积分与曲面积分习题课（二）对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）一、对坐标的曲线积分的概念1．定义2．物理意义变力沿所作的功.二、对坐标的曲线积分的性质1．线性性质：若（方向不变），则设是的反向曲线弧，则3.与积分曲线的方向有关性：2．可加性：三、对坐标的曲线积分的计算方法（化为定积分计算）（1）参数方程：1．直接计算法：设从变到;则设;从变到;则设从变到;则（2）直角坐标：设从变到;则注:下限起点上限终点3．利用积分与路径无关的条件计算法.与路径无关─单连域.—单连域.2．格林（Gree
2、n）公式计算法（注意使用条件！）（这里为区域的正向边界曲线)，为区域内任意闭曲线.四、两类曲线积分之间的联系其中为有向曲线弧在点处的切向量的方向角.五、对坐标的曲线积分的解题方法4．斯托克斯（Stokes）公式计算法（这里是有向曲面的正向边界曲面)No积分与路径无关封闭取特殊曲线转化为定积分积分与路径相关封闭确定D应用Green公式对L补上特殊曲线在封闭曲线上应用Green公式转化为定积分YesNoYesNoYes解题方法流程图由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数及积分曲线然后判
3、断等式是否成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域内与积分路径无关.此时的计算方法是，看积分曲线是否封闭.若为封闭曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零;若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方法是，看积分曲线是否封闭.若为封闭曲线,则直接利用若不是封闭曲线,通常采用取特殊路径的方法（如取平行于坐标轴的折线)来计算所给积分，即Green公式计算所给积分，即若不是封闭曲线,则计算方法一般有两种,一种是将曲线再计算最后将两式相减便得原曲线积分的值,即积分化为定积分来计算
4、；另一方法是通过补特殊路径,使与构成封闭曲线，然后在封闭曲线上应用Green公式,即六、典型例题【例1】计算曲线积分其中为曲线沿增大的方向.分析由于故曲线积分与路径有关.又因为曲线不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分曲线的方程改写为再代入被积函数中计算。解：由于所以分析本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转化为定积分来计算，这里关
5、键是要正确写出积分曲线的参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。【例2】计算曲线积分,其中为有向闭折线,这里的依次为点、、解法1：化为定积分计算.由于(如图)，这里所以从变到。从变到。从变到。从而解法2：利用斯托克斯公式计算.设为平面上所围成部分的上侧，由Stokes公式，得为在坐标面上的投影区域，则分析由于,故曲线积分与路径有关。【例3】计算曲线积分,其中为区域的边界，取逆时针方向。又因为封闭曲线（如图）。且、在所围区域
6、上满足格林公式的条件，故本题可采用格林公式方法来计算，即采用框图中线路2→21的方法。.解:令，.则即由于故利用格林公式，得【例4】计算曲线积分.其中为圆周（按逆时针方向绕行）.分析由于本题积分曲线为圆周,故可首先写出的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算，即可采用框图中线路2→23的方法计算；另外，考虑到积分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算，即可采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使其满足格林公式的条件。解法1：化
7、为定积分计算。的参数方程为：,从变到.则解法2：利用格林公式计算。设由所围区域为,则;于是分析由例3的分析可知，曲线积分与路径有关，又因积分曲接计算法，即转化为定积分的方法计算，不难看出沿着路径的积分，被积函数中含有和的项,【例5】计算曲线积分,其中为曲线上从点到点的一段弧.积分的计算将是非常困难的。因此，本题采用补特殊路径，然后应用Green公式的方法计算本题，即采用框图中线路2→22计算。线不是封闭的，按框图，计算本题有两种方法；但若利用直解:补直线段:,从变到;并设曲线所围区域为（如图），
8、则由Green公式，得：又故.【例6】设是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分.分析因,,则由于与在原点处不连续,因此：（1）若给定的曲线所围成的闭区域不包括原点,则在此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线所围成的闭区域包括原点,那么、在所围成的闭区域上不满足格林公式（积分与路径无关的条件）。此时，我们可取一条特殊的封闭光滑曲线,在上应用Green公式,由此将上的曲线积分转化为上的曲线积分.解：因,,则故.（1）若给定的曲线围成的闭区域不包括原点.由知曲线积分与路径无关,故.（
