辽宁工业大学高数习题课

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1、第七章空间解析几何与向量代数习题课(二)平面与直线、空间曲面与曲线一、平面与直线的方程1．平面方程:（1）点法式方程：其中为平面的法向量，为平面的一定点。（2）一般方程：（3）截距式方程：，其中分别为平面在三坐标轴上的截距。2．点到平面的距离：3．直线方程：（1）一般方程：（2）对称式方程：其中为直线的方向向量，为直线的一定点。（3）参数方程：则它们的夹角为：（2）两平面相交（夹角）设与平面的法向量分别为与4．线、面之间的位置关系：（1）两直线相交（夹角）设与的方向向量分别为与（3）直线与平面相

2、交（夹角）设直线的方向向量为,平面的法向量为则它们的交角：则（4）线、面之间的平行与垂直设直线与的方向向量分别为，平面与的法向量分别为☆☆☆☆☆☆二、空间曲面1．一般方程：2．旋转面：曲线同理可得面上的曲线绕轴旋转所得旋转面的方程及绕轴旋转所得旋转面的方程。绕轴旋转所得旋转曲面方程为绕轴旋转所成的旋转曲面方程为三、空间曲线1．一般方程2．参数方程3．空间曲线在坐标面上的投影曲线：（1）在面上的投影曲线：（2）在面上的投影曲线：（3）在面上的投影曲线：四、典型例题【例1】求平行于轴且经过两点的平面

3、方程。分析：（1）已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知知两点确定的向量与向量的向量积求平面的法向量；（2）由平面平行于轴的特殊条件，可采用平面的一般式，设出不含的平面方程，再由已知两点确定平面方程的待定系数。解法1:由已知点，确定向量,轴上的单位向量，可确定所求平面的法向量平面过点，则所求平面的点法式方程为即解法2：平面平行于轴，则平面方程中不含变量,于是可设平面方程为点在平面上，满足平面方程，即有，得则平面方程为即【例2】求经过两点且与平面垂直的平面方程。分析：已知平面过两点，可采用平面

4、的点法式，用已知两点确定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。，平面过向量，所以，。已知平面的法向量为，因为，所以，可取则所求平面的点法式方程为即解：设所求平面的法向量为，已知平面过点【例3】过点且在三坐标轴上截距相等的平面方程。分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知的点确定三个相等的截距。解：设所求平面的截距式方程为，将已知点的坐标代入方程确定参数，有所求平面的截距式方程为。或写为一般式方程。解得【例4】求与平面平行，且与之距离为3的平面。分析：所求平面与已知平面平行，

5、法向量相同，可先设出平面方程的一般式，再由条件定系数。解：所求平面与已知平面平行，两者的法向量相同，故可设所求平面的方程为已知平面上有点，该点到所求平面的的距离为3，即可解得或代入所设平面方程得所求平面的方程为或【例5】求过点且与平面和平行的直线方程。分析：直线过已知一点，由直线的对称式，只需求直线的方向向量，直线的方向向量分别与两已知平面的法向量垂直，可用向量积求出直线的方向向量。可取直线过点，则所求直线方程为解：设所求直线的方向向量为，两已知平面的法向量为，的法向量为，则，。解：已知直线上点

6、在所给平面上，该点坐标满足平面方程；解之得。【例6】已知直线在平面，求的值。分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线的方向向量与平面的法向量垂直。与平面的法向量应相互垂直，即。则有关系式其次，直线的方向向量求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。【例7】求过点且通过直线的平面方程。分析：直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所解：直线上的点及已知点在所求平面上，两点构成向量，直线方向向量；所求平面方程为即所求平面的法向量，，于是可取【例8】已知两直线求过且平行

7、于的平面。分析：所求平面过直线，则过直线上点，由平面的点法式，关键是求出平面的法向量，有两种方法：（1）用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量；（2）先设出平面的法向量，再由条件定系数。解法1:直线上的点在所求平面上；又所求平面的法线向量与已知二直线的方向向量、都垂直，从而可取于是所求平面方程为即解法2：设所求的法向量为过直线上的点的方程为已知二直线的方向向量为、，因为平面过，所以，又因为，所以，则有解得取则。平面方程为：即【例9】求直线与直线的夹角。分析：关键是求出直线的方向向量，可用向量

8、积求得。解：直线的方向向量是，而直线的方向向量分别与两向量，垂直,则可取从而直线与直线的夹角的余弦为因此【例10】求过点，垂直于直线且平行于平面的直线方程。可用向量积求。分析：由本题的条件知，求直线的方向向量垂直于已知直线的方向向量，也垂直于已知平面的法向量解：设所求直线的方向向量为，已知直线的方向向量,已知平面的法向量为，，，所以，，故可取已知从而所求直线的方程为即【例11】*已知直线及点，求点到直线的距离。分析：要想求出点到直线的距离，需求过该点与已知直线垂直相交的直线和已知直线的交点（即垂