辽宁工业大学高数习题课(12)

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1、第一章函数与极限习题课(一)数列与函数的极限几何解释:一、数列极限1．数列极限的定义2．数列极限的运算法则3．数列极限的主要性质4．数列极限的存在准则二、函数的极限1．函数极限的定义2．函数的左右极限左极限:右极限:3．函数极限收敛的充要条件4．函数极限的运算法则5．函数极限的主要性质（3）夹逼准则：若则三、无穷小与无穷大1．无穷小的基本概念（1）无穷小的定义（2）无穷小阶的比较2．无穷小的主要性质四、两个重要极限1.2.则或五、解题方法及典型例题1．数列极限解题方法流程图求可找到数列和满足应用夹逼准则验证单调有界应用单调有界准则恒等变形应用极限的四则运

2、算法则求极限判别的形式为分式应用等价无穷小代换应用极限的四则运算法则求极限恒等变形求判别的形式为无穷小,且为未定式或为复合函数应用连续函数的极限运算准则应用重要极限函数极限解题方法流程图2．典型例题【例1】计算分析经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子约去，再求极限。解：【例2】计算解：分析对形如的极限，分子、分母可同除以中x的最高次，再利用可求得最终结果。解：如果改为：结果如何？思考【例3】计算分析由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，可变成的形式。解法2：解法1:因为，所以是时的无穷小，而为有界函数，

3、由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知【例4】计算注意：下面的计算是错误的。因为所以因为，故并不存在，所以不能应用极限存在准则。解：【例5】*计算分析本题含，当与(－0)时，有不同的结果，需要用左右极限求之。解：【例6】计算而由夹逼准则得分析本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看，可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。【例7】设（1）证明存在（2）计算解：(1)由于所以又有下界即在时单调下降进而证明了数列的有界性。由单调有界数列必有极限知解：(2)设则有（因，故舍去负值）注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的单调性和

4、有界性。至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析。所以解法1：【例8】计算解法2：型未定式的极限,分析这是解决方法是利用重要极限。或利用变量替换法。分析分子分母均趋于0，不能运用运算法则，适当作恒等变形，再利用等价无穷小代换。解：【例9】计算解：分子有理化极限非零部分可先提出【例10】计算分析由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母有理化变形，可求出极限。【例11】设即所求解：由于，极限存在故必有，于是有，即将代回原极限式有