辽宁工业大学高数习题课10-2-2

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1、第十章曲线积分与曲面积分习题课（四）对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）一、对坐标的曲面积分的概念1．定义2．物理意义单位时间内流过曲面一侧的流量。表示流体密度速度场为,二、对坐标的曲面积分的性质1．可加性2．反号性三、对坐标的曲面积分的计算方法1．直接投影法（化为二重积分）（1）设，。则上侧取“+”，下侧取“–”。（2）设，。则前侧取“+”，后侧取“–”。（3）设，。则右侧取“+”，左侧取“–”。2．高斯（Gauss）公式计算法或这里是的外侧边界，为曲线上点处的法向量的方向余弦。3．转化为第一型曲面积分计算法其中为曲面在点处的法向量的方向余弦。四、散度与旋度设，均

2、有一阶连续偏导数。（1）散度（2）旋度五、对坐标的曲面积分的解题方法确定对补上特殊曲面确定的侧封闭应用Guass公式转化为二重积分在封闭曲面上应用Gauss公式求在各坐标面上的投影转化为二重积分YesNo求的方向余弦转化为第一型曲面积分Yes为平面块No解题方法流程图由上图可以看出，计算第二型曲面积分时，首先应找出函数特点，考虑将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分来后将上面二积分相减，便得原曲面积分的值，即是否封闭，若是封闭曲面，则可直接利用Gauss公式，将所求积分转化为三重积分来计算。若不是封闭曲面，则可进一步判别是否为平面块，是平面块，则可根据题目的计算

3、。若不是平面块，此时，一般有两种方法，一种是通过补特殊曲面，使构成一封闭曲面，然后在封闭曲面上应用Gauss公式，并计算在曲面上的积分，最，，及积分曲面；然后判别另一种方法是按照定义将曲面积分直接转化为二重积分来计算，即直接计算方法。六、典型例题【例1】计算曲面积分。其中为球面在第一卦限部分的上侧。分析由于不是封闭曲面，且只是对坐标的曲面积分，解：因：前侧，且在面上的投影区域为故从解题方法的框图上看，采用线路223的方法计算。于是得【例2】计算曲面积分。其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧。分析本题为计算对坐标的组合积分，但由于不是封闭曲面，且其中的

4、三个曲面积分化为二重积分计算又比较容易（因为为柱面，在坐标面上的投影，故从解题方法的框图上看，采用线路223的方法计算即可。解：因在坐标面上的投影，坐标面上的投影区域为：又在，所以；【例3】计算曲面积分。其中为上半球体，的表面外侧。分析　由于为封闭曲面，所以可采用框图中线路1的方法计算。解：本题中，，，。积分曲面为封闭曲面，设所围成的空间闭区域为，则：，；或：，，。于是由Gauss公式，得注：若将本题中的积分曲面改为上半球面的上侧，则由于不是封闭曲面，又不是平面块，从计算方法的框图上看，采用线路222的方法计算较为简便，现计算如下：补平面块取下侧，则与构成一封闭曲

5、面，且取外侧。在封闭曲面上应用Gauss公式，又故【例4】计算曲面积分，其中为下半球面的下侧。分析由于，，定义在曲面上，所以被积函数满足曲面方程故应首先考虑用曲面方程化简被积函数,即然后再计算。其次本题可考虑用高斯公式来计算，即采用框图中线路2→22的方法计算。解：先以代入被积表达式中，得补有向曲面取上侧，则构成封闭曲面，且方向为外侧。由所围成的空间闭区域为应用高斯公式，得（如图）：又因因此【例5】计算曲面积分其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧。分析由于，，其中未知，而积分曲面为平面块，故可考虑利用两类曲面积分之间的关系，把给定的第二型曲面积分转化为第一型

6、曲面积分，即采用框图中线路221的方法计算。解:在面上的投影区域(如图)，故注:此题若用定义直接计算，由于被积函数中含有未知函数，那么转化成三个二重积分后，下一步计算二重积的方向余弦为分就很难进行了。一般情况下，若被积函数中含有抽象函数，通常不采用直接计算的方法，而是采用将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分或Gauss公式的方法来处理。【例6】设具有连续导数，计算曲面积分其中为由和所围成区域的外侧。分析令，，，由于被积函数含有抽象函数，如果直接计算很难求出。考虑到为封闭曲面，而且因此可考虑应用高斯公式，即采用框图中线路1的方法计算。解：令，，，则，，，围成的区域为

7、（如图）应用高斯公式，得于是，计算得在柱面坐标系下，：，，分析本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看,若采用【例7】计算其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向。参数法转化为定积分计算比较困难。现利用Stokes公式将曲线积分转化为曲面积分计算。但要注意将曲面积分转化为二重积分时，曲面的侧与曲线的方向符合右手规则，从而正确决定二重积分的正负号。解:设为平面上所围成部分的上侧，为在坐标面上的投影区域，则；由Stokes公式，得【例8】设，求。分析按梯度、散度定义直接计算即可。解:由于所以从而