辽宁工业大学高数习题(I)

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1、第三章微分中值定理与导数的应用习题课(二)洛必达法则与泰勒公式一、洛必达法则1．洛必达法则：①函数与都趋向于0(或);②与都存在,且;③存在(或为无穷大).那么设在的某一趋向下,函数与满足:其它型：转化为“”型或“”型2．适用类型：未定式基本型：“”型“”型，运用洛比达法则求.1．泰勒公式拉格朗日型余项佩亚诺型余项2．麦克劳林公式拉格朗日型余项佩亚诺型余项泰勒公式拉格朗日中值定理3.泰勒公式与中值定理的联系n＝04．常用的初等函数的麦克劳林公式三、典型例题【例1】计算解:（型）分析当分子分母均趋近于0,为型,用洛必达法则计算

2、.【例2】计算解：（型）（型）分析当分子分母均趋近于0,为型,用洛必达法则计算.【例3】计算解：等价无穷小代换（型）分析当分子分母均趋近于0,为型,用洛必达法则计算.【例4】计算解：(型)(型)分析当时,函数式为型,将其化为或型.【例5】计算解：(型)（型）（型）分析当时,函数式为型,将其化为或型.【例6】求解：(型)令（型）分析当时,函数式为型,将其化为或型.【例7】计算解:(型)分析当时,函数式为型,将其化为或型,再运用洛必达法则计算.(型)（型）使用洛必达法则求极限应注意的问题①洛必达法则可反复使用,但是要注意验证洛必达

3、法则的条件.②单纯应用洛必达法则可能导致繁杂的计算，注意把求极限的多种方法综合运用（如等价无穷小代换、两个重要极限、变量替换等），并利用极限运算法则及时化简非零因子，可使计算简捷。【例8】将函数在点处展成一阶及三阶的泰勒公式，并写出相应的拉格朗日型余项。解：因所以一阶泰勒公式为余项为：其中在与之间.三阶泰勒公式为余项为:0.【例9】求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式。解：将按展开n阶泰勒公式,即在处展开.因为所以则的n阶泰勒公式为:即在－1与之间.【例10】求函数的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式。解：求的n阶

4、麦克劳林公式,即在处展开.因所以的n阶麦克劳林公式:则即