定积分基本公式

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1、定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节  微积分基本公式 一、变上限的定积分y=f(x)bxyaφ(x)x设函数在[]上连续,，于是积分是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成，于是这个积分就写成了.当在上变动时，对应于每一个值,积分就有一个确定的值，因此是变上限的一个函数，记作=（ ≤≤）通常称函数为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.定理

2、1  如果函数在区间上连续，则变上限积分=在上可导，且其导数是  （ ≤≤）.推论  连续函数的原函数一定存在.且函数=即为其原函数.例1 计算=在=0,处的导数.解   因为=,故 ；.例2 求下列函数的导数：(1)；解 这里是的复合函数，其中中间变量，所以按复合函数求导法则，有.(2).解 .二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式定理2 设函数在闭区间上连续，又是的任一个原函数，则有.证 由定理1知，变上限积分也是的一个原函数，于是知,  为一常数,即.我们来确定常数的值，为此，令，有，得.因此有.再令，得所求积分为.因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变

3、量，即得 ,其中.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：.例1  求定积分：(1)；（2）；（3）.解（1）.（2）.（3）在上写成分段函数的形式                              于是.例2 计算.解  因为时,,故本题属 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里是的复合函数,其中,所以 ,于是有                                          .思考题1.若，2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数在积分区间上连续.问当在区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分

4、？并计算 其中