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时间:2019-08-08
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1、定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念,在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念,讨论定积分性质和计算方法,举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分y=f(x)bxyaφ(x)x设函数在[]上连续,,于是积分是一个定数,这种写法有一个不方便之处,就是既表示积分上限,又表示积分变量.为避免混淆,我们把积分变量改写成,于是这个积分就写成了.当在上变动时,对应于每一个值,积分就有一个确定的值,因此是变上限的一个函数,记作=( ≤≤)通常称函数为变上限积分函数或变上限积分,其几何意义如图所示.定理
2、1 如果函数在区间上连续,则变上限积分=在上可导,且其导数是 ( ≤≤).推论 连续函数的原函数一定存在.且函数=即为其原函数.例1 计算=在=0,处的导数.解 因为=,故 ;.例2 求下列函数的导数:(1);解 这里是的复合函数,其中中间变量,所以按复合函数求导法则,有.(2).解 .二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式定理2 设函数在闭区间上连续,又是的任一个原函数,则有.证 由定理1知,变上限积分也是的一个原函数,于是知, 为一常数,即.我们来确定常数的值,为此,令,有,得.因此有.再令,得所求积分为.因此积分值与积分变量的记号无关,仍用x表示积分变
3、量,即得 ,其中.上式称为牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.为计算方便,该公式常采用下面的格式:.例1 求定积分:(1);(2);(3).解(1).(2).(3)在上写成分段函数的形式 于是.例2 计算.解 因为时,,故本题属 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里是的复合函数,其中,所以 ,于是有 .思考题1.若,2.在牛顿-莱布尼茨公式中,要求被积函数在积分区间上连续.问当在区间上有第一类间断点时,还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分
4、?并计算 其中
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