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1、山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)1.函数的最大值是________________;2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”,将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________.3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,.则f(2012)=______;4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k个间隔将到达的
2、那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点.5.如图，设,分别为的外心、内心，且，＞，的外角平分线交⊙于，已知,则_____________.二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)6.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p
3、(n2n-1).7.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，延长DP交AB于F，延长CP交矩形的外接圆于G。求证：GE⊥GF.ABCDOIEF11RABCDPEGFQ8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2,…,A10满足:(1)
4、Ai
5、=36,i=1,2,…,10;(2)A
6、1∪A2∪…∪A10=A;(3)
7、Ai∩Aj
8、=8,i≠j.请说明理由.9.求最小的正整数m,n(n≥2),使得n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形.10.设实系数三次多项式有三个非零实数根.求证:.11二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷一、填空题(本题满分56分,每小题7分)1.空间四点A，B，C，D两两间的距离均为1，点P与点Q分别在线段AB与CD上运动，则点P与点Q间的最小距离为____________；2.向量为坐标原点，动点满足则点构成的图形的面积为3.设有非空集合且当时，必有，这样的集合A的个数是_____________；
9、4.设其中表示不超过的最大整数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是5.11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4个数字只能是1、3、5且都至少出现1次,这样的手机号码有___________个；6.若则的最大值是；7.设函数，满足且对任意都有，则；8.实数满足，则的最大值为；二、解答题(本题满分64分,第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9.已知数列满足，且。（1）求数列的通项公式；（2）设为非零常数，若数列是等差数列，记，求10.M是抛物线的准线上任意点，过M作抛物线的切线11，切点分别为A、B（A在x轴上方）。（1）证明：直线AB过定点
10、；（2）设AB的中点为P，求｜MP｜的最小值。11.设为正实数，且，求证：12.某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m，n的值．112012年河北省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.已知，则可化简为（）A．B.C.D.2．如果复数的模为4，则
11、实数a的值为（）A.2B.C.D.3.设A，B为两个互不相同的集合，命题P：，命题q：或，则p是q的（）A.充分且必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件4.过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（）A.B.C.D.5.函数，则该函数为（）A.单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数C.单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数6.设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）223122122正视图侧视图俯视图（圆和正方形）11A.4+B.4+C.4+D.4+7．某程序框图如右图所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的（）
12、A．64B．32C．16D．88.在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（）A.4B.8C.16D.329.已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（）A.BC.D.10.已知，则的解为（）A.或B.或C.或D.二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.函数的最小正周期为__________。12.已知等差数列前15项的和=30，则=___________.13.向量，，，则的取值范围为。14.直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点）
