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时间:2020-02-28
《全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案).doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2012各省数学竞赛汇集2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题(70分)1、当时,函数的最大值为__18___.2、在中,已知则___4____.3、从集合中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为____________.4、已知是实数,方程的一个实根是(是虚部单位),则的值为________.5、在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为,一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为,则直线的斜率为_______.6、已知是正实数,的取值范围是________.7、在四面体中,,,该四面体的体积为____________.8、已知等差数列和等比
2、数列满足:则______.()9、将这个数排成一列,使任意连续个数的和为的倍数,则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为,三边均为整数,且,则满足条件的三元数组的个数为__24___.二、解答题(本题80分,每题20分)11、在中,角对应的边分别为,证明:(1)(2)12、已知为实数,,函数.若.(1)求实数;(2)求函数的单调区间;(3)若实数满足,求证:13、如图,半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点,为线段的中点.求线段长的取值范围.14、设是正整数,是方程的两个根.证明:存在边长是整数且面积为的直角三角形.2012年
3、全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)1.已知集合N,且N,则1.2.已知正项等比数列的公比,且成等差数列,则.3.函数的值域为.4.已知,,则.5.已知数列满足:为正整数,如果,则5.6.在△中,角的对边长满足,且,则.7.在△中,,.设是△的内心,若,则的值为.8.设是方程的三个根,则的值为-5.二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,
4、第11题20分)9.已知正项数列满足且,,求的通项公式.解在已知等式两边同时除以,得,所以.------------------------------------------4分令,则,即数列是以=4为首项,4为公比的等比数列,所以.------------------------------------------8分所以,即.------------------------------------------12分于是,当时,,因此,------------------------------------------16分10.已知正实数满足,且,求的最小值.解令,,则.
5、----------------------------------------5分令,则,且.------------------------------10分于是.------------------------------15分因为函数在上单调递减,所以.因此,的最小值为.------------------------------------------20分11.设,其中且.若在区间上恒成立,求的取值范围.解.由得,由题意知,故,从而,故函数在区间上单调递增.------------------------------------------5分(1)若,则在区间上单
6、调递减,所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立,等价于不等式成立,从而,解得或.结合得.------------------------------------------10分(2)若,则在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立,等价于不等式成立,从而,即,解得.易知,所以不符合.------------------------------------------15分综上可知:的取值范围为.------------------------------------------20分2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二年级)说明:评阅试
7、卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)1.函数的值域为________________.2.已知,,则_______________.3.已知数列满足:为正整数,如果,则.4.设集合,是的子集,且满足,,那么满足条件的子集的个数为.5.过原点的直线与椭圆:交于两点,是椭圆上异于的任一点.若直线的斜率之积为,则椭圆的离心率为________
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