1[1][1].5.3定积分的概念(两课时)

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1、定积分的概念2011.03.10求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿x…曲边梯形的面积以直代曲,无限逼近问题:汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程为S=vt.如果汽

2、车作变速直线运动,在时刻t的速度v(t)=-t2+2(单位:km/h),那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程S(单位:km)是多少?Ovt12…以不变代变一、定积分的定义如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作从“求曲边梯形面积S”和“汽车行驶的路程”的过程中可以看出,通过“四步曲”:“分割---近似代替----求和------取极限”得到解决.定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分

3、变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。按定积分的定义，有(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的路程s为定积分的定义：1xyOf(x)=x2Ovt121.与的差别3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有4．规定：是的全体原函数是函数是一个和式的极限是一个确定的常数注：2.当的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间的分法及点的取法无关。f(x)[a

4、,b]定积分的几何意义：Oxyabyf(x)x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyO=-．abyf(x)y-f(x)=-S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：=-S(1)当f(x)≥0，定积分就是曲线y=f(x)直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形的面积.(2)当f(x)≤0，定积分就是曲线y=f(x)直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形的面积的相反数.即：思考:对于函数值不定号的函数,你能说说定积分的几何意义吗?

5、表示:由曲线y=f(x)和直线x=a,x=b以及x轴围成的若干个平面图形面积的代数和.abyf(x)Oxy探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy三:定积分的基本性质性质1.性质2.三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性性质3.Oxyabyf(x)Ｃ性质3不论a，b，c的相对位置如何都有aby=f(x)cOxy定积分的性质总结:(k为常数);思考:你能用定积分的几何意义解释性质(3)吗?例1：利用定积分的定义,计算的值.解：例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000

6、ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3：解：xyf(x)=sinx1-1①利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。②利用定积分

7、的几何意义，说明下列各式成立：1）．2）.1）．2）.练习：③试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120xy=f(x)y=g(x)aby例4x1y面积值为圆的面积的衔接高考：（2009广东（理））8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图2所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是xyA.在时刻，甲车在乙车前面B.时刻后，甲车在乙车后面C.在时刻，两车的位置相同D.时刻后，乙车在甲车前面Aexit定积分的定义exit定积分的几何意义1.定积分是

8、一个特定形式和的极限，其几何意义是曲边梯形的面积，定积分的值由被积函数，积分上限和下限所确定.2.在实际问题中，定积分可以表示面积、体积、路程、功等等，求定积分的值目前有定义法和几何法两种，有时利用定积分的性质进行计算，能简化解题过程