1.2 数值计算的误差

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1、1.2数值计算的误差总结1.2.4计算机中数的表示和舍入误差1.2.3函数求值的误差估计1.2.2误差与有效数字1.2.1误差的来源1.2数值计算的误差/*Error*/学习目标掌握误差和有效数字、以及算法的数值稳定性等概念；重点是有效数字与相对误差的关系。1.2.1误差的来源/*Source&Classification*/误差在我们的日常生活中无处不在，无处不有，如在做热力学实验中，从温度计上读出的温度是23.4度，就不是一个精确的值，而是含有误差的近似值。又如量体裁衣，量与裁的结果都不是精确无误的，都含有误差。①从实际问

2、题中抽象出数学模型——模型误差/*ModelingError*/②通过测量得到模型中参数的值——观测误差/*MeasurementError*/③求近似解——方法误差(截断误差TruncationError）④机器字长有限——舍入误差/*RoundoffError*/(1).模型误差用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差.数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述数学模型的准确解与实际问题的真解不同.实际问题的真解

3、数学模型的真解为简化模型忽略次要因素定理在特定条件下建立与实际条件有别在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长度、电压等，这些参数往往是通过观测得到的，因此也带来了误差，这种误差叫观测误差.数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的.由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使数据含有测量误差,这类误差叫做观测误差或数据误差.根据实际情况可以得到误差上下界.数值方法中需要了解观测误差,以便选择合理的数值方法与之适应.(2).观测误差数值运算的一个特点是：所谓“截断”规则就是：将超过规定位数的部分无条件地去掉。

4、这样取4位小数，就为3.1415。参与运算的数必须是有限位的，而且位数往往是预先规定的（如在计算机高级语言中，单精度实数为6~7位有效数字）。如果运算的数是无限位的或超过规定，那么要用“四舍五入”规则或“截断”规则，将它们处理成规定的位数。(3).截断误差精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫截断误差.例如,函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式（介于0与x之间）近似代替，则数值方法的截断误差是截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差.例如，对函数当

5、x

6、较小时，我们若用前三项作

7、为sinx的近似值，则截断误差的绝对值不超过.有的计算机是采用“截断”规则的,但大多数计算机是采用“四舍五入”规则处理舍弃位数的。在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算.需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理.用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差.(4).舍入误差上述种种误差都会影响计算结果的准确性，因此需要了解与研究误差，在数值计算中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析.定义1.1设x是某实数的精确值，xA是它的一个近似

8、值，则称xxA为近似值xA的绝对误差.（xA有时也可记作x*）⑴绝对误差/*absoluteerror*/绝对误差界（限）由于精确值一般是未知的,因而绝对误差不能求出来,但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它的取值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。1.2.2误差与有效数字(ErrorandSignificantDigits)定义1.2设x是某实值的精确值，xA是它的一个近似值，并可对xA的绝对误差作估计

9、xxA

10、A,则称A是xA的绝对误差界(限)。例1设=3.1415926…近似值A=3.14,它的绝对误

11、差是0.0015926…，有-A=0.0015926…0.002=0.210-2可见，绝对误差限A不是唯一的，但A越小越好,例1、2的绝对误差限都不超过末尾数字的半个单位。例2又近似值A=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有

12、-A

13、=0.0000074…0.000008=0.810-5例3而近似值A=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有

14、-A

15、=0.0000926…0.0001=0.110-3(2)相对误差/*relativeerror*/相对误差界（限）只用

16、绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲打字每100个错一个,乙打字每1000个错一个,他们的误差都是错一个,但显然乙要准确些,这就启发我们除了要看绝对误差外,还必须顾及量的本身。称为xA的相对误差。定义1.3绝对误差与精确值x的比值例4解结论?俗称“好坏”、“多少”是相对的近