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1、§2数值计算的误差一、误差来源的分类二、误差分析的重要性三、绝对误差四、相对误差五、有效数字六、数值运算的误差传播1.观测误差通过测量得到模型中参数的值——观测误差/*MeasurementError*/注：通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的界。一、误差来源的类型2.模型误差从实际问题中抽象出数学模型——模型误差/*ModelingError*/当得不到数学模型的精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为截断误差或方法误差3.截断误差求近似解——方法误差(截断误差)/*TruncationError*/例如：在微积分中sinx可展开成
2、但在计算机中计算时，常用前几项来代替，即抛弃了无穷级数的后段，这样就产生了截断误差。当
3、x
4、很小时，常用x代替sinx，其截断误差大约为x3/6。由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差4.舍入误差机器字长有限——舍入误差/*RoundoffError*/在数值分析课程中，主要研究截断误差舍入误差统称计算误差二、误差分析的重要性观察如下两个方程组试思考这两个方程组的解的关系？容易看出两方程系数完全相同，而右端常数项有微小差别：1.9999变成2.0001，其误差为2.0001-1.9999=0.0002
5、但对应的解为其解竟然相差得很大！解的最大误差=2据说，美军1910年的一次部队的命令传递是这样的:营长对值班军官:明晚大约8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。值班军官对连长:根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。连长对排长:根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另
6、一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。排长对班长:明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。班长对士兵:在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。三、绝对误差和绝对误差限定义设某一量的精确值为x，近似值为x*，则x*与x之差叫做近似值x*的绝对误差(简称误差)，记为？判断题：绝对误差是误差的绝对值．绝对误差的性质(1)绝对误差e(x*)可正可负(2)
7、e(x*)
8、的大小标志着x*的精确度(3)绝对误差e(x*)通
9、常未知定义若有一个适当小的正数，使有时用表示近似值x*的精度或准确值的所在范围。则称为近似值x*的绝对误差限。注：在实际问题中，绝对误差和绝对误差限一般是有量纲的。例如，测得某物体的长度为5m，其误差限为0.01m思考题：设有两个温度计，其一测量1000℃时的绝对误差限为5℃，而另一个测量100℃时的绝对误差限为5℃。问：哪一个温度计更精确？四、相对误差和相对误差限答：虽然两者绝对误差限的数值相同，但第一种温度计更为精确。决定一个量的近似值的精确度除了要看绝对误差的大小外，还要考虑到该量本身的大小。定义绝对误差与准确值之比称为x*的相对误差（relative
10、error）(2)由于准确值x未知，故实际问题中，当
11、
12、较小时，常取注(1)相对误差是个无量纲量,对近似问题，可用于刻画近似精确度；值小者精度高。当
13、
14、较小时，可用下式计算定义若指定一个适当小的正数，使则称为近似值x*的相对误差限当数值x有很多位数字时，常按照“四舍五入”原则取前几位数字作为x的近似值。我们来考虑“四舍五入”近似法的相对误差。简例：设x=π=3.1415926···取x1*=3作为π的近似值，则五、有效数字-----数值近似中相对误差的一种实用刻画例：π1*=3，π2*=3.14，π3*=3.140,π4*=3.141,π5*=3.149作为
15、π的近似值，则有效数字分别有多少位？答：1，3，3,3,3(相对误差为0.0023…)例：精确数有多少位有效数字？答：无穷多位有效数字（参见书p6?!）有效数字的性质有效数字的位数可刻画近似数的精确度。有效数字越多，则相对误差越小。六、数值运算的误差估计1.利用微分估计误差(1)一元函数的函数值计算误差估计问题：设y=f(x)，x的近似值为x*，则y的近似值y*的误差如何计算？解：故相应的误差限估算如下因为(2)二元函数的函数值计算误差估计问题：设y=f(x1,x2)，x1,x2的近似值为x1*,x2*，则y的误差如何计算？解由于故绝对误差限为与前面类似的推
16、导可得多元函数的误差估计2.加减乘除运算的估计误差（
