第四章 线性离散控制系统的数学描述方法new

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1、第四章线性离散控制系统的数学描述方法4.1Z变换的定义微分方程代数方程传递函数拉氏变换线性连续系统分析差分方程Z域代数方程脉冲传递函数Z变换线性离散系统分析线性连续系统VS线性离散系统分析方法1计算机控制技术课程讲义4.1.1Z变换的定义设连续信号f(t)的拉普拉斯变换为F(S),经过采样开关后的信号为f*(t)，采样周期T，则：对其两边进行拉氏变换：Z变换实质上是拉普拉斯变换的一种推广或变形，又称为脉冲拉普拉斯变换、离散拉普拉斯变换2计算机控制技术课程讲义关于Z变换的几点说明：1、只有离散信号f*(t)，才有Z变换。如下几种简述表达的是同一个事实：离散信号f*

2、(t)的Z变换连续信号f(t)的Z变换拉氏变换F(s)的Z变换即：F(z)=Z[f*(t)]=Z[f(t)]=Z[F(s)]2、F(z)和f*(t)描述离散信号在各个采样时刻的变化规律，与非采样时刻的值无关。所以同一离散信号及其Z变换可以对应不同的连续函数。3、和式中各项，f(kt)描述幅值，z描述时间。3计算机控制技术课程讲义4.1.2典型时间信号的Z变换例4-1求单位阶跃信号f(t)=1(t)的Z变换。例4-2求指数函数f(t)=e-atZ变换。4计算机控制技术课程讲义常用函数的Z变换5计算机控制技术课程讲义4.2Z变换的基本定理1、线性定理2、滞后定理（右

3、偏移）3、超前定理（左偏移）4、初值定理5、终值定理6、复平移定理7、卷积定理6计算机控制技术课程讲义1、线性定理设：则：函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。2、滞后定理设在k<0时连续函数f(k)的值为零，其Z变换为F（Z）则原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-n,算子z-n的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。7计算机控制技术课程讲义3、超前定理设函数f(kT)的Z变换为F(Z),若k=0，1，…，(n-1)时，f（kT）为零，则有：滞后和超前定理统称为平移定理，是差分方程Z变换求解的主要依据，这与用拉氏变换的微分

4、定理解微分方程类似。4、初值定理设函数f(kT)的Z变换为F(Z),当Z趋向无穷大时，则有：8计算机控制技术课程讲义5、终值定理设函数f(kT)的Z变换为F(Z),则有：6、复平移定理经常用于分析计算机系统的稳态误差！！9计算机控制技术课程讲义7、卷积定理设函数f1(kT)，f2(kT)的Z变换分别为F1(Z),F2(Z),则有：时间域两个离散时间序列f1(kT)，f2(kT)的离散卷积和等于Z域的乘积10计算机控制技术课程讲义4.3Z反变换已知函数f(kT)的Z变换F(z)，求离散时间序列f(kT)的过程，称为Z反变换，记为：常用求解方法：长除法、部分分式法、

5、留数法。要点：将F（Z）用长除法变化为降幂排列的展开式。11计算机控制技术课程讲义Z反变换为也即：例4-5求的Z反变换解：12计算机控制技术课程讲义13计算机控制技术课程讲义2.部分分式法（因式分解法，查表法）步骤：①先将变换式写成，展开成部分分式，③查Z变换表②两端乘以Z14计算机控制技术课程讲义例4-6求的Z反变换解：①②③查Z变换表有：15计算机控制技术课程讲义4.4差分方程采样系统的数学模型用差分方程描述。差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间的函数关系。差分方程由输出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、y(k-2)、y(k-3)、……，以及输入序

6、列u(k)，及其移位序列u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、……，所构成。（k=0,1,2,……）序列中k即kT，k=0T为研究开始时刻，kT可以理解为当前时刻，而(k-1)T为前一采样时刻。16计算机控制技术课程讲义差分方程的建立：数字系统中，由算法决定。连续系统被采样时：首先在时域内求出微分方程将采样序列代入方程用差分代替求导用求和代替积分例：惯性系统被采样后的差分方程：17计算机控制技术课程讲义