线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数

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1、如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现。----高斯第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数夏尔·厄米夏尔·厄米，法国数学家，巴黎综合工科学校毕业，曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。他的研究领域包括数论，二次型，不变量理论，正交多项式，椭圆函数和代数。厄米多项式、厄米规范形式、厄米算子、厄米矩阵，和立方厄米样条都以他命名。生于：1822年12月24日,法国迪耶于兹逝于：1901年1月14日,法国巴黎§8.1常点领域方程的级数解勒让德方程教学目的：1、了解常点领域二阶常微分方程级数解法；2、掌握勒让德方程的级数解法和勒让

2、德多项式的性质。教学重点：勒让德方程二阶常微分方程级数解法。教学难点：二阶常微分方程级数解基本方法8.1常点邻域方程的级数解勒让德方程1.常点邻域线性常微分方程的级数解4（1）级数解法的基本思想：（2）方程的常点和奇点567(3)解的存在和唯一性定理（不证明）由于函数p(x),q(x)和y(x)在圆环域

3、x-x0

4、

5、)常点邻域级数解基本方法整理得（先设k+2=n,然后再令k=n)③比较等式两边同幂次系数求cn(n=0,1,2,…)a.(x-x0)0项:(k=0,n=0)有b.(x-x0)1项④确定收敛半径,即泰勒级数收敛圆。2.勒让德方程①化为标准形式：点x=x0=±1是方程的奇点,即一阶极点.在x0=0点：p(x0)=0,q(x0)=l(l+1),即点x0=0是常点。（1）l阶勒让德方程10③设解y(x)为一泰勒级数求l阶勒让德方程在x=0的邻域内的级数解标准方程系数:②方程奇点与x=0点的奇常性分析:递推公式11代入勒让德方程展开第一项整理得比较同幂x前的系数有整

6、理得改写上式第一项,即令k=n-2进一步写上式第一项,即再令n=k由于c0的下标对应于偶数，c1的下标对应于奇数，为此我们令递推公式中的下标n分别取n=2k-2和n=2k-1与它们对应，即12④找出cn与初始条件c0和c1间关系设n=2k-2:设n=2k-1:13这样l阶勒让德方程的级数解是：幂级数解的收敛半径所以l阶勒让德的级数解在单位圆

7、x

8、<1内收敛。在单位圆外如何？下面我们用高斯判别法来判定。14但是，如果解是多项式，因为只有有限项，所以发散问题不存在了.（2）勒让德多项式考察偶函数系数的递推关系：由系数的递推关系可知：当2n=l时，c2n+2=0

9、,级数退化为2n次多项式.由条件:c1=0时,在x=1处,y(1)=c0y0(1)=1,确定c0现在,y(x)=c0y0(x)是2n次多项式。通过繁复计算得出其中由此确定的多项式称2n阶勒让德多项式并记为y(x)=c0y0(x)=P2n(x)，具体表达式为：或记特例同理，奇函数系数的递推关系：由系数的递推关系可知：当2n+1=l时，c2n+2=0,级数退化为2n+1次多项式.确定c1取c0=0，则y(x)=c1y1(x)是2n+1次多项式。再取c1值达到y(1)=c1y1(1)=1通过繁复计算得出由此确定的多项式称2n+1阶勒让德多项式并记为y(x)=c1

10、y1(x)=P2n+1(x)，具体表达式为：或记例例8.2求厄米微分方程在x=0处的级数解(量子力学)解：系数函数：系数函数表示点x=x0=0是方程的常点,即在点的邻域：19设解y（x）为泰勒级数由解析函数的性质说明：习惯上l的取值为0和正整数，因为当l取负整数时，给出与l取正整数时相同的结果。递推公式系数的两个序列20代入厄米方程化简得整理得比较x前系数得整理得k=2nk=2n+1由系数的递推关系：当k=2n是偶数，偶次项系数在k=(λ-1)/2以后为零,a2n+2=0。当k=2n+1是奇数，奇次项系数在k=k=(λ-1)/2以后为零,a2n+3=0。2

11、1由系数的递推关系k=(λ-1)/2可知：ak+2=0,级数退化为厄米多项式Hn.幂级数解的收敛半径8.1(3)本讲作业§8.2正则奇点邻域方程的级数解柱贝塞尔方程教学目的：1、了解正则奇点领域二阶常微分方程级数解法的基本定理——富克斯定理；2、掌握求解柱贝塞尔方程的级数解法。教学重点：各类柱贝塞尔方程的级数解法。教学难点：正则奇点领域二阶常微分方程级数解基本方法。上一讲复习线性齐次变系数常微分方程方程的常点：如果p(x)和q(x)都在点x0的邻域解析，则称为方程的常点。常点领域内求方程级数解的一般步骤：（1）将方程常点领域内的解展开为泰勒级数，代入策分方

12、程；（2）比较系数，得到系数之间的递推关系；（3）反复利用递推关系