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1、线性代数数学建模案例 （1）网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时,线性方程组就自然产生了,例如,城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量,电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等.大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程。一、网络流模型一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成。网络中的点称作联结点(或节点)，网络中的连接线称作分支.每一分支中的流量方向已经指定，并且
2、流量(或流速)已知或者已标为变量。网络流的基本假设是（1）网络中流入与流出的总量相等；（2）每个节点上流入和流出的总量也相等。例如，上面两图（a）、（b）。流量在每个节点守恒。在类似的网络模式中，每个结点的流量都可以用一个线性方程来表示。网络分析要解决的问题是：在部分信息(如网络的输入量)已知的情况下，确定每一分支中的流量。城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。案例1交通网络流量分析问题下图为某城市的局部单行示意图【问题描述】：某城市单行线如下图所示,
3、其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位:辆).5001234400300100200300x1x2x3X4图3某城市单行线车流量示意图现在需要解决的问题如下：（1）建立确定每条道路流量的线性方程组.（2）为了唯一确定未知流量,还需要增添哪几条道路的流量统计?（3）当x4=350时,确定x1,x2,x3的值.（4）若x4=200,则单行线应该如何改动才合理?。【模型假设】：（1）每条道路都是单行线（2）每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】根据图3和上述假设,在①,②,③,④四个路口进出车辆数目分别满足：500=x1+x2①400+x1=x4+300②x
4、2+x3=100+200③x4=x3+300④【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组。其增广矩阵(A,b)=由此可得即：为了唯一确定未知流量,只要增添x4统计的值即可.当x4=350时,确定x1=250,x2=250,x3=50.若x4=200,则x1=100,x2=400,x3=100<0.这表明单行线“③④”应该改为“③④”才合理。【模型分析】（1）由(A,b)的行最简形可见,上述方程组中的最后一个方程是多余的.这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.（2）由可得,就是说x1,x2,x3,x4这四个未知量中,任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他
5、三个未知量的值。Matlab练习题某城市有下图所示的交通图,每条道路都是单行线,需要调查每条道路每小时的车流量.图中的数字表示该条路段的车流数.如果每个交叉路口进入和离开的车数相等,整个图中进入和离开的车数相等。现在需要解决如下问题：（1）建立确定每条道路流量的线性方程组。（2）分析哪些流量数据是多余的。（3）为了唯一确定未知流量,需要增添哪几条道路的流量统计。300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12图某城市单行线车流量在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题.在不考虑各种成分之间可能发
6、生某些化学反应时,配方问题可以用向量和线性方程组来建模，案例2配方问题图5日常膳食搭配图6几种常见的作料【模型准备】：一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成.这种佐料现有两种规格,这两种规格的佐料中,四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2.现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料.问:第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】（1）假设四种原料混合在一起时不发生化学变化；（2）假设四种原料的比例是按重量计算的。（3）假设前两种规格的佐料分装成袋,比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克,3克
7、,1克,1克),第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克,2克,1克,2克).【模型建立】根据已知数据和上述假设,可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起,得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克,7克,3克,5克,则有以下线性方程组：其解为：【模型分析】若令1=(2,3,1,1)T,2=(1,2,1,1)T,=(4,7,5,3)T,则原问题等价于“线性方程组Ax=b是否有解”,也等价于“能否由1,2线性表示
