简单复合函数的求导法则(III)

《简单复合函数的求导法则(III)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、简单复合函数的求导法则＊导数的加减法法则：＊导数的乘除法法则：引例一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，其面积是半径的函数：油膜半径随着时间的增加而扩大，其函数关系为：问：油膜面积关于时间的瞬时变化率是多少？分析：油膜面积关于时间的新函数：由于所以由导数的运算法则可得：∵∴概括一般地，对函数和，给定的一个值，可得的值，进而确定的值，这就确定了新函数，它是由和复合而成的，我们称之为复合函数，其中是中间变量。复合函数的导数：复合函数中，令，则注意：复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中阶段我们只讨论的情况。推广：注意：不要写成！对x求导对求导例1求

2、函数的导数。例2求函数的导数。例3一个港口的某一观测点的水位在退潮过程中，水面高度关于时间的函数为：求其在时的导数，并解释其意义。解析解析解析例4求下列函数的导数：前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题中的对应法则f是未知的，是抽象的复合函数。它们的导数如何求得？？解析（1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量；（2）尽可能地将函数化简，然后再求导；（3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用；（4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，一环套一环，缺一不可。复合函数求导法则的注意问题：例31.求下列函数的导数：2.求曲线在处的切线方程。动手做一做例4求

3、下列函数的导数：动手做一做×小结关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。＊复合函数求导公式：利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。对于抽象复合函数的求导,要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求导法则。＊抽象复合函数的导数：结束利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的关键。分析：令，则函数是由与复合而成，由复合函数求导法则可知：解：例2解：令，则函数是由与复合而成，由复合函数求导法则可知：利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数是由哪些基

4、本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。总结概括函数　　　　由　　　　与复合而成。分析：解：令，由复合函数求导法则可以求得：∴当时，水面高度下降的速度是。在对法则的运用熟练后，可以不必写中间步骤。练习而对于抽象复合函数的求导,一方面要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。分析:求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系，合理选定

5、中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导。解：（1）函数是由与复合而成的，由复合函数的求导法则知：（2）函数由与复合而成，由复合函数的求导法则知：练习