(甘志国)这道经典题目的结论和解答都是错误的

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1、这道经典题目的结论和解答都是错误的！——判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要慎重甘志国(该文已发表数学教学2010(7)：23-24，封底)苏州市2009—2010学年度高一(必修1+必修4)上学期期末统考测试题第11题是如下一道选择题：若方程且恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是()A.B.C.D.参考答案是D(没有解答过程)，笔者猜测这道经典题目的传统解法是这样的：解当时，可以画出函数与的图象(草图)如图1所示，此时“方程恰有三个不相等的实数根”即“这两个函数的图象恰有三个不同的交点”，得即；当时，可以画出函数与的图象

2、(草图)如图2所示，此时得即.所以所求的取值范围是，选D.图1图2下面对以上解答提出异议.有以下结论成立：结论1增函数与减函数的图象公共点个数只能是0或1(因为两者公共点的个数即方程解的个数，而是增函数).结论2增函数与增函数的图象公共点个数可以是任意自然数，并且也可以是无数个(比如两个增函数与的图象公共点个数即方程解的个数，是无数个).结论3减函数与减函数的图象公共点个数可以是任意自然数，并且也可以是无数个(由结论2可得).若用草图1来解答本题中的情形，还须证明当时下面四点均成立(而以上解答认为它们是显然成立的)：(1)在时两者有唯一

3、公共点；(2)在时两者有唯一公共点；(3)在时两者有唯一公共点；(4)在时均有.由结论1及连续函数的性质(根的存在定理)可证得(1)、(3)两点均成立.怎么证明(2)、(4)呢？虽说可以验证当时均有，但不能说在时均有(如图3).当然，由结论3也可知(2)、(4)两点不是显然的事实.下面来试着证明这两点.图3要证明(4)，可以只证明时比下降的速度快，即证，这种证法即先证，再得出是上的减函数，所以.但这条路行不通，因为，而最后一式在时不可能恒成立：.为什么会产生此种情形呢？仔细观察图1可得，当自变量在7的左侧无限接近于7时下降的速度接近于0

4、，下降的速度大于0，所以此时.欲证明(4)，只需证明时，，即证，等价于恒成立.可以用几何画板作出函数的图象如图4所示，由此可以看出(事实上，用计算器可算出)，由此说明欲证的(4)不可能成立.可以再用几何画板作出函数的图象如图5所示，由此可以看出(事实上，用计算器可算出)，由此也直接说明结论(4)不成立.图4图5若用草图2来解答本题中的情形，还必须证明当且时均有.这也是不成立的：可用几何画板作出函数的图象如图6所示，由此可以看出(事实上，用计算器可算出).图6虽然笔者已经发现以上一道经典题目的结论及解法均是错误的，但如何求解，笔者认为难度

5、甚大，不知由以下思路能否求解：当时，如图1，设时曲线与相切，设切点为，得①须由此方程组求出，猜测此时所求的取值范围是.当时，如图2，设时曲线与相切，设切点为，得②须由此方程组求出，猜测此时所求的取值范围是.所以猜测该题的答案是，其中分别由①、②确定.我们要牢记华罗庚(1910~1985)先生说过的箴言“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合千般好,数形分离万事休”，通过画草图(受画图工具的限制不可能画出精细准确的图形)来解题时，一定要注意“形缺数时难入微”，并且要注意图形所反映的特性.判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要慎重，

6、编拟这样的题时更要慎之又慎，谨防超纲而难以严谨作答.问题1求正弦曲线与对数曲线且的公共点个数.问题2求曲线与对数曲线且的公共点个数.