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1、§8.6空间向量及其运算要点梳理1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量.(2)相等向量：方向且模的向量.(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相于同一平面的向量.(4)共面向量：的向量.大小方向相同相等平行平行或重合基础知识自主学习2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理（1）共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是.推论如图所示，点P在l上的充要条件是：①其中a叫直线l的方向向量，t∈R,在l上取,则①可化为存在实数λ，使得a=λb（2）共面向量定理的向量表达式：p=，其中x,y∈
2、R,a,b为不共线向量，推论的表达式为或对空间任意一点O有,其中x+y+z=1.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z}，使得p=，把{a,b,c}叫做空间的一个基底.xa+ybxa+yb+zc3.空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a，=b，则叫做向量a与b的夹角，记作,其范围是,若〈a,b〉=,则称a与b,记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则叫做向量a,b的数量积,记作,即.∠AOB〈a,b〉0≤〈
3、a,b〉≤π互相垂直
4、a
5、
6、b
7、cos〈a,b〉a·ba·b=
8、a
9、
10、b
11、cos〈a,b〉(2)空间向量数量积的运算律①结合律:(λa)·b=；②交换律：a·b=;③分配律：a·（b+c）=.4.空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a·b=.（2）共线与垂直的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b,,,λ（a·b）b·aa·b+a·ca1b1+a2b2+a3b3a=λba1=λb1a2=λb2a3=λb3(λ∈R)a⊥b(a,b均为非零向量）.（3）模
12、、夹角和距离公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
13、a
14、=，cos〈a,b〉=.若A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2），则dAB==.a·b=0a1b1+a2b2+a3b3=0基础自测1.下列命题中是真命题的是()A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.若
15、a
16、=
17、b
18、，则a，b的长度相等且方向相同或相反C.若向量，满足且与同向，则>D.若两个非零向量与满足+=0，则∥解析A错.因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面.B错.因为
19、a
20、=
21、b
22、仅表示a与b的模相等，与
23、方向无关.C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较,因此也就没有>这种写法.D对.∵+=0,∴=-，∴与共线，故∥正确.答案D2.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA,点N为BC的中点，设=a,=b,=c，则等于()解析B3.下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有②
24、a
25、-
26、b
27、=
28、a+b
29、是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、z∈R）,则P、A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析①中四
30、点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有
31、a
32、+
33、b
34、=
35、a+b
36、；③中a、b所在直线可能重合；④中需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面.答案C4.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点(填共面或不共面).解析=（3，4，5），=（1，2，2），=（9，14，16），即（9，14，16）=（3x+y，4x+2y，5x+2y），共面B题型一空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c
37、表示以下各向量：（1）；（2）；（3）.根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.题型分类深度剖析解（1）∵P是C1D1的中点，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.知能迁移1如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC的中点.(1)化简：解y题型二共线、共面向量定理的应用已知E、F
38、、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，（1）求证：E
