空间向量及其运算(IV)

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1、§8.6空间向量及其运算要点梳理1.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有和的量叫做空间向量.(2)相等向量:方向且模的向量.(3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在直线互相于同一平面的向量.(4)共面向量:的向量.大小方向相同相等平行平行或重合基础知识自主学习2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是.推论如图所示,点P在l上的充要条件是:①其中a叫直线l的方向向量,t∈R,在l上取,则①可化为存在实数λ,使得a=λb(2)共面向量定理的向量表达式:p=,其中x,y∈

2、R,a,b为不共线向量,推论的表达式为或对空间任意一点O有,其中x+y+z=1.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=,把{a,b,c}叫做空间的一个基底.xa+ybxa+yb+zc3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则叫做向量a与b的夹角,记作,其范围是,若〈a,b〉=,则称a与b,记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则叫做向量a,b的数量积,记作,即.∠AOB〈a,b〉0≤〈

3、a,b〉≤π互相垂直

4、a

5、

6、b

7、cos〈a,b〉a·ba·b=

8、a

9、

10、b

11、cos〈a,b〉(2)空间向量数量积的运算律①结合律:(λa)·b=;②交换律:a·b=;③分配律:a·(b+c)=.4.空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a·b=.(2)共线与垂直的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b,,,λ(a·b)b·aa·b+a·ca1b1+a2b2+a3b3a=λba1=λb1a2=λb2a3=λb3(λ∈R)a⊥b(a,b均为非零向量).(3)模

12、、夹角和距离公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

13、a

14、=,cos〈a,b〉=.若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则dAB==.a·b=0a1b1+a2b2+a3b3=0基础自测1.下列命题中是真命题的是()A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量B.若

15、a

16、=

17、b

18、,则a,b的长度相等且方向相同或相反C.若向量,满足且与同向,则>D.若两个非零向量与满足+=0,则∥解析A错.因为空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共面.B错.因为

19、a

20、=

21、b

22、仅表示a与b的模相等,与

23、方向无关.C错.因为空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比较,因此也就没有>这种写法.D对.∵+=0,∴=-,∴与共线,故∥正确.答案D2.已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,设=a,=b,=c,则等于()解析B3.下列命题:①若A、B、C、D是空间任意四点,则有②

24、a

25、-

26、b

27、=

28、a+b

29、是a、b共线的充要条件;③若a、b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若(其中x、y、z∈R),则P、A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析①中四

30、点恰好围成一封闭图形,正确;②中当a、b同向时,应有

31、a

32、+

33、b

34、=

35、a+b

36、;③中a、b所在直线可能重合;④中需满足x+y+z=1,才有P、A、B、C四点共面.答案C4.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点(填共面或不共面).解析=(3,4,5),=(1,2,2),=(9,14,16),即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y),共面B题型一空间向量的线性运算如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c

37、表示以下各向量:(1);(2);(3).根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.题型分类深度剖析解(1)∵P是C1D1的中点,用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.知能迁移1如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)化简:解y题型二共线、共面向量定理的应用已知E、F

38、、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,(1)求证:E

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